Задания №7. Геометрический смысл производной. Касательная

Задача 1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Так как касательная к графику функции параллельна прямой (у параллельных прямых совпадают угловые коэффициенты), то

где – точка касания.

Задача 2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

где – точка касания

Теперь приведем уравнение касательной к виду :

А так как прямая и есть касательная к к графику функции в точке , то

Немного облечим себе задачу на будущее. Хотя вполне можно решать задачи способом, показанным выше (задача 2).

Сформулируем условие касания графика функции и прямой в точке (точках) .

Пусть – касательная к графику функции в точке .

Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции в точке задается следующим образом:

или, что тоже самое,

Но если и – касательная к графику функции в точке , то

Последнее условие можно немного представить по другому с учетом первого:

Итак, можно сказать, что для того чтобы прямая была касательной к графику функции , необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа , для которого выполняется система:

В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт.

Задача 3. Прямая является касательной к графику функции Найдите

Воспользуемся условием касания графика функции и прямой в точке (точках) :

Задача 4. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше .

Согласно условию касания графика функции и прямой в точке (точках)

В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем только вариант

Задача 5. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Согласно геометрическому смыслу производной

где – угол наклона касательной к графику функции , проведенной через точку , к положительному направлению оси .

Из прямоугольного треугольника , помеченного голубым цветом, видно, что

Задача 6. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Согласно геометрическому смыслу производной , где – угол наклона касательной к графику функции , проведенной через точку , к положительному направлению оси .

Видим, что – тупой угол. Рассмотрим угол , смежный углу .

В прямоугольном треугольнике

Задача 7. На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке .

Согласно геометрическому смыслу производной

где – угол наклона касательной к графику функции , проведенной через точку , к положительному направлению оси .

Касательная проходит через начало координат и точку . Проведем эту касательную.

Видим, что угол наклона касательной – тупой угол. Рассмотрим угол , смежный углу .

В прямоугольном треугольнике

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции в точке .

Задача 9 . На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции в точке .

При этом – это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке то есть

Задача 10. На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции в точке .

– это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке то есть

Вы можете пройти тест по задачам, аналогичным разобранным, здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

• 06. Первообразная
• 06. Применение производной к исследованию функции
• Задания №7. Физический смысл производной

“Касательная проходит через начало координат и точку (10;6). Проведем эту касательную.” – может быть правильно будет (10;-6)

А не проще находить значение производной в точке через координаты точек, тогда уж точно знак не будет потерен.

Каждому свое. Дело вкуса… Лишь бы суть одна была ;)

Елена Юрьевна, здравствуйте! Столкнулась у Ященко с необычным заданием “На рисунке изображён график функции у=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в т. х0. Уравнение касательной показано на рисунке( у=-2х+15). Найти значение производной функции у= -1/4f(х) +5 в т. х0. Р.S.Касательная к графику в точке х0 проведена под тупым углом, ответ 0,5

Исходя из условия Нужно найти значение производной функции в точке Так как , то требуется найти , то есть . Ответ: 0,5.

Всё, поняла, спасибо!)

Почему в задаче 3 ax2 = 15? если ax = -15??

в задаче 4 ответ 3

Елена Юрьевна,добрый день.Решается ли задание №7 вариантов №125,126 А.Ларина не графическим способом? Т.Е. без дополнительных построений.

Ну да, например из варианта 126: Так как – минимальный период, то Значение уже можно найти по графику. А в силу нечетности функции. – опять же по графику исходному уже можно найти.