б) та же задача, что города соединены, если можно составить число, кратное 7.

1 5 класс, серия , коммерция и графы 1. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: - У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками. - Не может этого быть, сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил? 2. а) В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 3? Назовите ВСЕ города, в которые можно добраться из города 1. б) та же задача, что города соединены, если можно составить число, кратное 7. в) та же задача, но теперь кратное Однажды Остап купил несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес трех самых больших окуней 35 кг, а вес трех самых маленьких 25 кг. Сколько окуней купил Остап? (У рыб может быть разный вес). 4. На досуге Остап к каждому трёхзначному числу прибавляет число (не обязательно трехзначное), записываемое теми же цифрами в обратном порядке. Если результат сложения оказывается трехзначным, Остап записывает этот результат на листочек. Какие числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз? 5. Килограмм говядины с костями стоит 156 рублей, килограмм говядины без костей 180 рублей, а килограмм костей 30 рублей. Каков вес костей в килограмме говядины, если считать, что все мясные продукты продаются по себестоимости, без наценок? 6. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве? 7. а) Существует ли три таких треугольника, что первый нельзя поместить во второй, но можно в третий, а второй нельзя поместить в третий? б) б) Существует ли три таких треугольника, что первый нельзя поместить во второй, но можно в третий, второй нельзя поместить ни в первый, ни в третий? 8. На сторонах некоторого многоугольника расставлены стрелки. Докажите, что число вершин, в которые входят две стрелки, равно числу вершин, из которых выходят две стрелки. 9. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2012 или с периметром 2014? (Прямоугольники a b и b a считаются одинаковыми.) 10. Кооперативом «Рога и копыта» была куплена партия товара и продана с прибылью в 1000 рублей. На вырученные деньги была куплена другая партия того же товара и продана по прежним ценам, при этом прибыль составила 1500 рублей. Сколько уплатил Остап за первую партию товара? 5 класс, серия , коммерция и графы 1. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: - У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками. - Не может этого быть, сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил? 2. а) В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 3? Назовите ВСЕ города, в которые можно добраться из города 1. б) та же задача, что города соединены, если можно составить число, кратное 7. в) та же задача, но теперь кратное Однажды Остап купил несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес трех самых больших окуней 35 кг, а вес трех самых маленьких 25 кг. Сколько окуней купил Остап? (У рыб может быть разный вес). 4. На досуге Остап к каждому трёхзначному числу прибавляет число (не обязательно трехзначное), записываемое теми же цифрами в обратном порядке. Если результат сложения оказывается трехзначным, Остап записывает этот результат на листочек. Какие числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз? 5. Килограмм говядины с костями стоит 156 рублей, килограмм говядины без костей 180 рублей, а килограмм костей 30 рублей. Каков вес костей в килограмме говядины, если считать, что все мясные продукты продаются по себестоимости, без наценок? 6. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве? 7. а) Существует ли три таких треугольника, что первый нельзя поместить во второй, но можно в третий, а второй нельзя поместить в третий? б) б) Существует ли три таких треугольника, что первый нельзя поместить во второй, но можно в третий, второй нельзя поместить ни в первый, ни в третий? 8. На сторонах некоторого многоугольника расставлены стрелки. Докажите, что число вершин, в которые входят две стрелки, равно числу вершин, из которых выходят две стрелки. 9. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2012 или с периметром 2014? (Прямоугольники a b и b a считаются одинаковыми.) 10. Кооперативом «Рога и копыта» была куплена партия товара и продана с прибылью в 1000 рублей. На вырученные деньги была куплена другая партия того же товара и продана по прежним ценам, при этом прибыль составила 1500 рублей. Сколько уплатил Остап за первую партию товара?

2 5 класс, серия , мыши стреляют по сливам 5 класс, серия , мыши стреляют по сливам 11. Один торговец продает сливы по 150 рублей за килограмм, а второй по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго половину. Чьи сливы выгоднее покупать? 12. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 2012 дорог? 2013 дорог? 13. Нарисуйте по плоскости девять отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с а) двумя другими; б) тремя другими. 14. В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу? 15. Подойдя к незнакомому одноподъездному дому и думая, что на каждом этаже по шесть квартир, Аня решила, что нужная ей квартира находится на четвертом этаже. Поднявшись на четвертый этаж, Аня обнаружила, что нужная ей квартира ействительно находится там, несмотря на то, что на каждом этаже по семь квартир. Каким мог быть номер квартиры, в которую шла Аня? 16. В конференции участвовало 19 ученых. После конференции каждый из них отправил 2, 4 или 6 mail a участникам этой конференции. Могло ли случиться так, что каждый из них получил ровно 5 от коллег? 17. В конференции участвовало 19 ученых. После конференции они решили не посылать , а пользоваться Skype. Могло ли случится так, что каждый из них пообщался в Skyp e ровно с пятью другими участниками? 18. У торговцев Пети и Васи было по 30 пирожков. Они начали продавать их по 30 рублей. Если у одного из них покупают пирожок, другой немедленно снижает цену на свои пирожки на один рубль (пирожки продаются только по одному, и такого, чтобы они продавали по пирожку одновременно, не бывает). Сколько денег выручат в сумме Петя и Вася, когда продадут все свои пирожки? 19. Сумма пяти чисел равна Может ли их произведение оканчиваться на 2013? 20. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй 80; третий среднее арифметическое очков первых двух; четвертый среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й? 11. Один торговец продает сливы по 150 рублей за килограмм, а второй по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго половину. Чьи сливы выгоднее покупать? 12. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 2012 дорог? 2013 дорог? 13. Нарисуйте по плоскости девять отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с а) двумя другими; б) тремя другими. 14. В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу? 15. Подойдя к незнакомому одноподъездному дому и думая, что на каждом этаже по шесть квартир, Аня решила, что нужная ей квартира находится на четвертом этаже. Поднявшись на четвертый этаж, Аня обнаружила, что нужная ей квартира ействительно находится там, несмотря на то, что на каждом этаже по семь квартир. Каким мог быть номер квартиры, в которую шла Аня? 16. В конференции участвовало 19 ученых. После конференции каждый из них отправил 2, 4 или 6 mail a участникам этой конференции. Могло ли случиться так, что каждый из них получил ровно 5 от коллег? 17. В конференции участвовало 19 ученых. После конференции они решили не посылать , а пользоваться Skype. Могло ли случится так, что каждый из них пообщался в Skyp e ровно с пятью другими участниками? 18. У торговцев Пети и Васи было по 30 пирожков. Они начали продавать их по 30 рублей. Если у одного из них покупают пирожок, другой немедленно снижает цену на свои пирожки на один рубль (пирожки продаются только по одному, и такого, чтобы они продавали по пирожку одновременно, не бывает). Сколько денег выручат в сумме Петя и Вася, когда продадут все свои пирожки? 19. Сумма пяти чисел равна Может ли их произведение оканчиваться на 2013? 20. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй 80; третий среднее арифметическое очков первых двух; четвертый среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й?

3 5 класс, серия , жизнь в Вишкиле 21. В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками? 22. В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль. 23. Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен убыток, если метр шланга стоит 12 рублей? 24. Есть 15 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 15 написаны по два раза. Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны 25. В деревне Вишкиль 24 человека. Все, кроме двоих, имеют разное число друзей. Сколько друзей имеет эта пара? 26. В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать? 27. В деревне Вишкиль 9 домов, причем из каждого идут тропинки не менее, чем к 4 другим домам. Докажите, что из любого дома можно добраться до любого другого. 28. Один дом в деревне сгорел, и теперь в деревне Вишкиль только 8 домов, которые по-прежнему соединены тропинками. Может ли быть, что количество тропинок быть равно а) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; б) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1; в) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2? 29. В Вишкиле уже неизвестно сколько домов, но от каждого дома выходит по 20 тропинок к другим домам, кроме дома электрика Васи из него ведет 33 тропинки, и дома его брата Коли, из которого ведет всего одна тропинка, а из всех остальных по 20 тропинок. Докажите, что уж до кого - до кого, а до брата Коли Вася обязательно сможет добраться по тропинкам. 30. При каком n > 1 может случиться так, что в компании из n + 1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики с одним и тем же числом девочек? 5 класс, серия , жизнь в Вишкиле 21. В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками? 22. В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль. 23. Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен убыток, если метр шланга стоит 12 рублей? 24. Есть 15 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 15 написаны по два раза. Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны. 25. В деревне Вишкиль 24 человека. Все, кроме двоих, имеют разное число друзей. Сколько друзей имеет эта пара? 26. В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать? 27. В деревне Вишкиль 9 домов, причем из каждого идут тропинки не менее, чем к 4 другим домам. Докажите, что из любого дома можно добраться до любого другого. 28. Один дом в деревне сгорел, и теперь в деревне Вишкиль только 8 домов, которые по-прежнему соединены тропинками. Может ли быть, что количество тропинок быть равно а) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; б) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1; в) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2? 29. В Вишкиле уже неизвестно сколько домов, но от каждого дома выходит по 20 тропинок к другим домам, кроме дома электрика Васи из него ведет 33 тропинки, и дома его брата Коли, из которого ведет всего одна тропинка, а из всех остальных по 20 тропинок. Докажите, что уж до кого - до кого, а до брата Коли Вася обязательно сможет добраться по тропинкам. 30. При каком n > 1 может случиться так, что в компании из n + 1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики с одним и тем же числом девочек?

4 5 класс, серия 4, тем временем в Средиземье 31. Существует ли такая тройка натуральных чисел, что любые два из них имеют общий делитель, больший 1, но общим делителем для всех трех является 1? 32. а) Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме? б) Может ли наименьшее общее кратное трех чисел равняться их сумме? 33. Можно ли так записать в строку числа от 1 до 101 включительно, чтобы а) сумма любых трех подряд идущих делилась на 2; б) сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3? 34. Найдите все такие пары натуральных чисел, для которых а) их НОД равен 56, а НОК 112; б) НОД равен 18, а НОК В Хоббитании от каждого дома выходит ровно 20 тропинок, при этом от любого дома можно добраться до любого другого. На одной тропинке устроили засаду черные всадники. Докажите, что и теперь любой хоббит может прийти в гости к любому другому, не попавшись в руки злодеям. 36. Известно, что гномы строили свои пещерные города так, чтобы по их пещерам нельзя было пройти по кругу, но из любой пещеры можно было добраться до любой другой. Гэндальф помнил, что в Мории 7 пещер, но забыл её забыл план, поэтому начал рисовать все возможные карты. Сколько разных карт получится у Гэндальфа? А если пещер в Мории 8? 37. В стране эльфов Лориэне растет 101 дерево- мэллорн, причем причем от каждого дерева к каждому можно пройти напрямую тайной тропой. а) Сколько тайных троп в Лориэне? б) Эльфы хотят показать Гимли несколько троп, чтобы он тоже мог добраться от любого дерева до любого другого, но уже не обязательно напрямую. При этом они не хотят выдавать много тайн. Какое наибольшее количество троп они могут утаить от Гимли? 38. У 7 гномов сумма возрастов равна 1000 лет. А) Докажите, что среди них есть гном старше 140 лет. Б) Докажите, что из них можно выбрать 3 гнома, сумма возрастов которых не менее 429 лет. В) Можно ли в пункте б) заменить 429 на 430? 39. Можно ли расставить натуральные числа в таблице а) ; б) ; в) ; г) так, чтобы сумма в каждом столбце была четная, а в каждой строке нечетная? 40. Можно ли подобрать 3 таких натуральных числа, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3? 5 класс, серия 4, тем временем в Средиземье 31. Существует ли такая тройка натуральных чисел, что любые два из них имеют общий делитель, больший 1, но общим делителем для всех трех является 1? 32. а) Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме? б) Может ли наименьшее общее кратное трех чисел равняться их сумме? 33. Можно ли так записать в строку числа от 1 до 101 включительно, чтобы а) сумма любых трех подряд идущих делилась на 2; б) сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3? 34. Найдите все такие пары натуральных чисел, для которых а) их НОД равен 56, а НОК 112; б) НОД равен 18, а НОК В Хоббитании от каждого дома выходит ровно 20 тропинок, при этом от любого дома можно добраться до любого другого. На одной тропинке устроили засаду черные всадники. Докажите, что и теперь любой хоббит может прийти в гости к любому другому, не попавшись в руки злодеям. 36. Известно, что гномы строили свои пещерные города так, чтобы по их пещерам нельзя было пройти по кругу, но из любой пещеры можно было добраться до любой другой. Гэндальф помнил, что в Мории 7 пещер, но забыл её забыл план, поэтому начал рисовать все возможные карты. Сколько разных карт получится у Гэндальфа? А если пещер в Мории 8? 37. В стране эльфов Лориэне растет 101 дерево- мэллорн, причем причем от каждого дерева к каждому можно пройти напрямую тайной тропой. а) Сколько тайных троп в Лориэне? б) Эльфы хотят показать Гимли несколько троп, чтобы он тоже мог добраться от любого дерева до любого другого, но уже не обязательно напрямую. При этом они не хотят выдавать много тайн. Какое наибольшее количество троп они могут утаить от Гимли? 38. У 7 гномов сумма возрастов равна 1000 лет. А) Докажите, что среди них есть гном старше 140 лет. Б) Докажите, что из них можно выбрать 3 гнома, сумма возрастов которых не менее 429 лет. В) Можно ли в пункте б) заменить 429 на 430? 39. Можно ли расставить натуральные числа в таблице а) ; б) ; в) ; г) так, чтобы сумма в каждом столбце была четная, а в каждой строке нечетная? 40. Можно ли подобрать 3 таких натуральных числа, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3?

5 5 класс, серия 5, разрежьте марку из Египта 41. Висячей вершиной называется вершина степени 1. Пусть в связном графе нет циклов. Докажите, что тогда в нем есть а) одна висячая вершина; б) две висячие вершины; в) три висячие вершины. 42. Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество Юриных марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков. 43. На доске написаны числа 1, 2, 3,, За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными? 44. По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна. 45. Можно ли разрезать доску 8 8 без угловой клетки на а) уголки из трех клеток; б) на прямоугольники 1 3? 46. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму? 47. На турнире были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечетное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечетном количестве конкурсов. Четное или нечетное число школьников пришло на турнир? 48. Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно? 49. Куб со стороной 2013 разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба 50. На столе стоят 13 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно? 5 класс, серия 5, разрежьте марку из Египта 41. Висячей вершиной называется вершина степени 1. Пусть в связном графе нет циклов. Докажите, что тогда в нем есть а) одна висячая вершина; б) две висячие вершины; в) три висячие вершины. 42. Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество Юриных марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков. 43. На доске написаны числа 1, 2, 3,, За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными? 44. По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна. 45. Можно ли разрезать доску 8 8 без угловой клетки на а) уголки из трех клеток; б) на прямоугольники 1 3? 46. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму? 47. На турнире были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечетное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечетном количестве конкурсов. Четное или нечетное число школьников пришло на турнир? 48. Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно? 49. Куб со стороной 2013 разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба 50. На столе стоят 13 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

5 класс, серия 1 2013, коммерция и графы 1. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: - У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками.