2.6. Входное сопротивление линии передачи с нагрузкой
Входное сопротивление (англ. – input impedance ) линии передачи с нагрузкой (неоднородностью), размещенной при l = 0 , определяют как отношение эквивалентного напряжения к эквивалентному току в данном входном сечении линии для заданного значения l :
где z вх = Z W вх – нормированное входное сопротивление.
Учитывая формулу (2.45), выражение (2.52) можно записать в виде
1 + Γ ( 0 ) e − 2 γ l
= 1 + Γ ( 0 ) e − 2 α l e − j 2 β l
где ϕ Γ – фаза коэффициента отражения нагрузки Γ ( 0 ) . Используя условия наблюдения максимумов и минимумов стоячей волны 2 β l −ϕ Γ = 2 π n и 2 β l −ϕ Γ = 2 π n + π соответственно, получим значения нормированного сопротивления в этих точках:
Таким образом, из соотношений между КСВ, КБВ и модулем коэффициента отражения (2.42) и (2.43) следует, что нормированное сопротивление в пучности стоячей волны равно КСВ, а в узле – КБВ.
При условии, что l = 0, связь сопротивления нагрузки с соответствующим коэффициентом отражения задаются формулами (2.34), (2.35). Используя их и формулу (2.45), которая описывает зависимость коэффициента отражения
вдоль линии передачи, найдем связь между входным сопротивлением z вх и сопротивлением нагрузки z н :
где th γ l – гиперболический тангенс, который по определению равен
В случае, когда потерями в линии передачи можно пренебречь ( α = 0 ), формула (2.53) трансформируется к виду
В данную формулу входит величина ϑ = β l = 2 Λ π l , которая называется электри-
ческой длиной (англ. – electrical length ). Для проводимости формулы аналогичны:
Для случаев, когда имеет место параллельное подключение нескольких нагрузок, более простым является использование проводимости, что и обусловливает практическое значение формул (2.55).
Таким образом, входное сопротивление (проводимость) z вх ( y вх ) зави-
сит не только от сопротивления нагрузки z н ( y н ) , но и от выбранной коорди-
наты точки наблюдения и частоты. Тем не менее, об изменении нагрузки на конце линии передачи все же можно судить по изменению входного сопротивления линии.
Формулы для физических, а не нормированных сопротивлений и прово-
димостей можно получить
денормировки по формулам:
W 1 + Y н W th γ l
W 1 + jY н W tg β l
2.7. Основные режимы работы линии передачи
Найдем выражения для распределения амплитуды напряжения и тока для коротких отрезков линии ( α = 0 ) длиной L в зависимости от напряжения и тока в нагрузке. Для этого используем формулы (5.1), (5.8), (5.9):
u ( L ) = u пад (0) e
где значения нормированного напряжения падающей и отраженной волн для l = 0 соответствуют значениям в нагрузке. Тогда для значения напряжения в нагрузке имеем
u н = u ( 0 ) = u пад (0) + u отр (0) ,
i н = i ( 0 ) = u пад (0) − u отр (0) .
Из этой системы легко получить значения u пад (0) = u н 2 + i н , u отр (0) = u н 2 − i н , то-
гда входные напряжения и ток для отрезка длиной L могут быть представлены в виде
= u н ch γ L + i н sh γ L ,
= u н sh γ L + i н ch γ L .
Выражения (2.60), (2.61) позволяют легко перейти к физическим напряжению и току с помощью формул денормировки (2.32):
U ( L ) = U н ch γ L + I н W sh γ L ,
sh γ L + I н ch γ L .
Если потерями можно пренебречь ( α = 0 ), то выражения (2.60), (2.61) трансформируются в следующие зависимости:
u ( L ) = u н cos β L + ji н sin β L ;
i ( L ) = i н cos β L + ju н sin β L .
Режим согласования (англ. – matched load ) имеет место тогда, когда
Z н = W или z н = 1. Согласно формулам (2.56) Z вх ( L ) = W = const , то есть вхо д- ное сопротивление не зависит от координаты и равняется волновому. Согласно
с формулой (2.35) Γ = 0 , по выражению (2.42)
K ст U = 1 ( K бв U = 1). Поскольку
= 1, то согласно формулам (2.64) і (2.65)
+ ju н sin β L = u н e
cos β L + ji sin β L = i e i β L ,
где амплитуда напряжения
i ( L ) = i н = const .
образом, в линии существует только бегущая (падающая) волна. Переход к физическим значениям напряжения и тока не изменяет картины процесса, однако
амплитуда напряжения равна U н , а амплитуда тока I н = U н / W .
Режим короткого замыкания (англ. – short circuit ) имеет место тогда, ко-
гда u н = 0 , это наблюдается при условии Z н = 0 ( Y н = ∞ ). Согласно формулы (2.54) z вх ( L ) = j tg β L , то есть входное сопротивление (входная проводимость
y вх ( L ) = − j ctg β L ) является мнимой величиной Re[ z вх ( L )] = Re[ y вх ( L )] = 0. Следует принимать во внимание, что всё это касается идеальной линии без по-
терь ( α = 0 ). Отрезок короткозамкнутой линии длиной, меньшей Λ 4 , имеет электрическую длину ϑ , которая меньше, чем π 2 радиан, и индуктивное
входное сопротивление. Это сопротивление бесконечно возрастает в случае приближения длины отрезка к значению Λ 4 . Увеличение сопротивления до
бесконечности свидетельствует о том, что такой отрезок длинной линии может быть рассмотрен как аналог параллельного резонансного контура. При условии, что длина отрезка составляет Λ 2 , сопротивление становится равным нулю, та-
кой отрезок представляет собой аналог последовательного колебательного контура. В интервале π / 2 < ϑ < π входное сопротивление имеет емкостный характер. В общем случае сопротивление – это периодическая функция с периодом Λ 2 . Таким образом, входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии
передачи может иметь индуктивный или емкостный характер (в зависимости от знака тангенса). Согласно выражению (2.35) Γ = − 1, то есть отраженная волна
имеет фазовый сдвиг на π радиан по отношению к падающей волне (для одного
и того же значения координаты). Согласно
( K бв U = 0). Поскольку u н = 0 , то согласно зависимостям (2.64) и (2.65)
u ( L ) = ji н sin β L ;
Для перехода к физическим значениям напряжения и тока в формуле
(2.68) амплитуда должна равняться
ка через короткозамыкатель (и в
U max – амплитуда напряжения в
пучностях стоячей волны напряже-
ния. Множитель j свидетельствует
о том, что напряжение и ток сдвину-
Рис.2.5. Графики зависимостей входных
нагрузку не передается, и имеют ме-
нормированных напряжения, тока и
сто только колебания. Распределе-
сопротивления от длины короткозамкну-
ние амплитуды напряжения,
того отрезка линии передачи
мости от длины короткозамкнутого отрезка линии передачи приведено на рис.2.5. Таким образом, сформированная волна имеет все признаки чисто стоячей волны. Следует отметить, что наличие потерь ( α ≠ 0 ) ограничивает величину резонансного значения
Режим холостого хода (англ.
– no-load , idling mode ) имеет место при условии i н = 0 , это наблюдается
Рис.2.6. Графики зависимостей входных нормированных напряжения, тока и сопротивления от длины разомкнутого отрезка линии передачи
для Z н = ∞ ( Y н = 0 ). Согласно вы-
ражению (2.54) z вх ( L ) = − j ctg β L , то есть входное сопротивление (вход-
ная проводимость y вх ( L ) = j tg β L ) является мнимой величиной
Re[ z вх ( L )] = Re[ y вх ( L )] = 0. Следует иметь в виду, что это касается иде-
альной линии без потерь ( α = 0 ).
Таким образом, входное сопротивление такого отрезка линии передачи, как и короткозамкнутого отрезка, может иметь индуктивный или емкостной характер. При этом аналогичные явления наблюдаются в случае сдвига на Λ / 4. Необходимо отметить, что режим холостого хода может быть реализован путем разомкнутой линии передачи в линиях с ТЕМ -волной (например, коаксиальных линиях). В волноводах режим холостого хода получают включением короткозамыкающего поршня на расстоянии Λ / 4 от сечения, в котором необходимо обеспечить указанный режим. Согласно выражению (2.35) Γ = 1, то есть отраженная волна находится в фазе с падающей (при одном и том же значении ко-
ординаты). По формуле (2.42) K
гласно зависимостям (2.64) і (2.65)
u ( L ) = u н cos β L ;
i ( L ) = ju н sin β L .
Для перехода к физическим значениям напряжения и тока u н
нии (2.70) необходимо заменить на
U н = U max , а в выражении (2.71) –
I max = U max / W , где U max – амплитуда напряжения на конце линии (и в пучностях стоячей волны напряжения); I max – амплитуда тока в пучностях стоячей волны тока. Множитель j свидетельствует о том, что напряжение и ток сдви-
нуты по фазе на π / 2, то есть мощность в нагрузку не передается, имеет место только колебательный процесс. Распределение амплитуды напряжения, тока и входного сопротивления в зависимости от длины разомкнутого отрезка линии передачи представлены на рис.2.6. Таким образом, как и для случая короткозамкнутого отрезка линии, сформировавшаяся волна имеет все признаки чисто стоячей волны. Следует помнить, что наличие потерь ( α ≠ 0 ) ограничивает величину резонансного значения входного сопротивления.
Сравнивая рис.2.5 и 2.6, видно, что входное сопротивление линии в режиме холостого хода равняется входному сопротивлению короткозамкнутой линии, которая имеет на Λ / 4 большую длину. Сдвиг на Λ / 4 имеет место также для зависимостей напряжения и тока.
Сопротивление отрезка линии длиной L < Λ / 4 с электрической длиной ϑ = β L < π / 2 в режиме холостого хода имеет емкостной характер, который не-
ограниченно возрастает в случае приближения L к Λ / 2. Отрезок длиной Λ / 4 < L < Λ / 2 имеет индуктивный характер.
Отрезки линий передачи в режиме холостого хода или короткого замыкания называют реактивными шлейфами (англ. – stub ), поскольку их сопротивление независимо от длины имеет чисто реактивный характер.
Режим реактивной нагрузки (англ. – reactive load ) имеет место, если для сопротивления нагрузки удовлетворяется условие Re( Z н ) = 0 . Пусть z н = jx н , причем возможен случай, когда x н > 0 (индуктивная нагрузка) і x н < 0 (емкостная нагрузка). Тогда согласно выражению (2.35) имеем