Урок «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Видеоурок «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии» является наглядным пособием для ведения урока алгебры по данной теме. Видеоматериал вводит понятие арифметической прогрессии, учит отличать арифметическую прогрессию в ряде различных последовательностей чисел, дает представление об основных формулах, которые задают член арифметической прогрессии, учит применять их для решения задач, связанных с арифметической прогрессией. Задача данного видеоурока – облегчить усвоение материала, помочь ученикам запомнить основные формулы, необходимые для решения задач, формировать умение применять полученные знания в решении задач.

Основными инструментами видеоурока являются анимационные эффекты, различные приемы выделения понятий, голосовое объяснение материала. При помощи анимационных эффектов удерживается внимание учеников на изучении материала, наглядные материалы структурируются, подаются в удобном виде. При помощи выделения облегчается запоминание и усвоение учебного материала.

Вначале представляется тема видеоурока. Приводится пример последовательности некоторых чисел 1, 5, 9, 13, 17, …, указывая на то, что любой ее член, больший первого, равняется предыдущему, сложенному с 4. Отмечается, что подобные последовательности, всякий член которых образуется сложением с некоторым числом, являются арифметической прогрессией.

Далее демонстрируется математическая запись основного условия, определяющего арифметическую прогрессию. Она указывает, что (an) будет арифметической прогрессией, когда для всякого натурального n выполняются условия, описанные в формуле ее члена: an+1= an+d с некоторым числом d. Вводится понятие разности арифметической прогрессии, являющейся разностью между любым членом и предыдущим перед ним. Это некоторое число, одинаковое для всякой разности рядом стоящих членов последовательности: an+1-an=d.

Описываются примеры арифметической прогрессии, определенной первым членом, а также разностью. Отмечается, что арифметическая прогрессия для а1=1 и d=2 будет 1, 3, 5 . ; арифметическая прогрессия, где а1=2 и d=2 представляет собой последовательность чисел 2, 4, 6 и т.д. Пример прогрессии с разностью d= -1 и а1=-1 будет -1, -2, -3 и т.д. Для прогрессии с первым членом 5, разностью 0 она будет рядом одинаковых чисел 5, 5 и т.д. Отмечается, что таким образом можно найти всякий член арифметической прогрессии, однако такой способ вычисления неудобный. Есть более эффективный метод нахождения члена арифметической прогрессии.

Описание формулы n-ного члена начинается с ее выведения. Для этого второй член прогрессии представляется как а2=а1+d, третий – а3=а2+d=(а1+d)+d=а1+2d, а4=(а1+2d)+d=а1+3d и т.д. Соответственно, найти значение некоторого n-ного члена указанной арифметической прогрессии можно, применяя формулу an=a1+d(n-1). Она выведена в рамку для запоминания и записи в тетради.

Разбирается пример вычисления члена последовательности – самое простое задание. Дана последовательность (cn), которая задана первым членом c1=0,2 и разностью d=0,4. Используем для нахождения 40-го члена последовательности известную формулу: c40=0,2+0,4(40-1)=15,8.

При решении следующего примера рассматривается более сложное задание – выяснить, является ли указанное число членом прогрессии. Арифметическая прогрессия (xn) задается последовательностью чисел 22, 18, 14, 10,…Определяем, что первым членом является xn=22, а разностью d=18-22=-4. Поэтому формула, определяющая некоторый член прогрессии, формулируется так: xn=22-4(n-1). Иначе xn=26-4n. Чтобы -144 было часть. Данной последовательности, необходимо, чтобы оно удовлетворяло условию: 26-4n=-144. Решив данное уравнение, обнаруживается, что n=42,5, то есть оно не является натуральным числом. А значит, число -144 не является членом прогрессии.

Рассматривается еще одна закономерность, которая важна при решении задач, связанных с арифметическими прогрессиями. Всякий член некоторой арифметической прогрессии, больший первого, можно вычислить как среднее арифметическое от предыдущего и последующего. Оно доказывается просто, что и демонстрируется на экране. Для арифметической прогрессии an, вычисленная разность члена с предыдущим равна разности последующего с данным членом: an- an-1= an+1- an. После перегруппировки членов равенства получаем 2an= an-1+ an+1. Иначе это можно записать an=( an-1+ an+1)/2, что подтверждает утверждение.

Также доказывается справедливость обратного утверждения о том, что равенство каждого члена среднему арифметическому предыдущего и последующего членов означает, что она – арифметическая прогрессия. Преобразуя формулу n-го члена an=(an-1+ an+1)/2 с n>=2, получаем 2an= an-1+ an+1, или an- an-1= an+1- an, что доказывает утверждение.

Также рассматривается еще один аспект формулы n-го члена. Отмечается, что ее можно представить в виде an=dn+(a1-d). Такое представление дает право утверждать, что всякая арифметическая прогрессия задается формулой an=kn+b, в которой k и b – некоторые числа. Также верно обратное утверждение, которое определяет как арифметическую прогрессию некую последовательность, задаваемую формулой an=kn+b с числами k и b. Подтверждается это при помощи подстановки формулы в выражение для нахождения разности арифметической прогрессии. an+1-an= k(n+1)+b-(kn+b)= kn+k+b-kn-b=k. Отсюда еще один вывод, что для всякого n верно an+1=an+ k. Данная последовательность an будет арифметической, а ее разность k.

Видеоурок «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии» подробно разъясняет понятие арифметической прогрессии, представляет все важные формулы n-го члена, и следующие их них, для решения задач. Данный материал также будет полезен при дистанционном обучении. Наглядное пособие поможет ученикам и в самостоятельном освоении материала.

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.