Методика решения уравнений в повторительном курсе математики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Ярыгин, Анатолий Николаевич

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Ярыгин, Анатолий Николаевич

Глава I. Теоретические основы повторительного изучения решения уравнений

§1. Решение уравнений в школьной математике

1.1. Роль уравнений в школьном курсе математики

1.2. Содержание сведений об уравнениях в курсе математики школы

1.3. Уравнения на вступительных экзаменах в вузы

§2. Психолого-педагогические основы обобщающего повторения

2.1. Роль и значение повторения в процессе обучения

2.2. Обобщающие повторительные курсы

2.3. О содержании повторительного курса решения уравнений

§3. Математические основы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

3.1. Основные понятия и обозначения

3.2. Общие методы решения уравнений

3.3. Методы проверки корней при неравносильных преобразованиях уравнений

Глава П. Решение уравнений в ходе обобщающего повторения

§4. Педагогическая эффективность методики решения уравнений

4.1. О понятии "Методика решения уравнений"

4.2. Требования к методике решения уравнений

§5, Методика решения уравнений в повторительном курсе

5.1, 0 различных методиках решения уравнений

5.2. Процедура решения уравнений

§6. Педагогический эксперимент 94 Заключение 116 Список литературы

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», 13.00.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика решения уравнений в повторительном курсе математики»

Актуальность теш исследования»

Грандиозные задачи, поставленные перед советской школой в решениях партийных съездов, направлены прежде всего на повышение качества обучения и воспитания учащихся, повышение эффективности всего учебно-воспитательного процесса. На современном этапе развития советской школы она решает сложные задачи обеспечения всеобщего среднего образования в условиях повышения теоретического уровня обучения, сближения содержания образования с уровнем современной науки. Диалектическая противоречивость этих двух направлений требует решительного совершенствования методов обучения, приведения их в соответствие с требованиями жизни и подготовки учащихся к труду, повышения качества обучения и воспитания учащихся, повышения эффективности всего учебно-воспитательного процесса.

Математическое образование является одним из важнейших элементов обучения в школе основам наук. В настоящее время бурной математизации науки и техники роль и значение прочных и глубоких математических знаний выпускников школы особенно велики: от состояния школьного математического образования непосредственно зависит научно-технический и оборонный потенциал страны.

Именно поэтому вопросы математического образования вызывают пристальное внимание общественности страны. Многочисленные публикации в центральной, партийной и специальной педагогической печати, посвященные вопросам школьного математического образования и итогам прошедшей реформы обучения математике в школе, лишь иллюстрируют этот тезис.

Введение новых разделов в курса математики школы не перечеркнуло основного содержания традиционного курса математики. Многие из традиционных разделов по-прежнему сохраняют свое фундаментальное положение в обучении математике. Однако переход к новым программам на какое-то время сместил акценты методических исследований в область, связанную с разработкой методик изучения нового материала в рамках единого предмета школьной математики.

Определенное снижение внимания к изучению ряда традиционных разделов отмечается и в практике работы школы. Усилия учителя в период перехода на новые программы также были сосредоточены в областях, связанных с новым материалом. Известные недостатки учебников и учебных пособий, о которых сейчас много говорится, усугубили эту тенденцию. В настоящее время ведутся поиски методического равновесия между традиционными разделами и новым материалом, между использованием традиционных и относительно более новых методов обучения.

Введение новых программ по математике в ряде случаев заставило пересмотреть роль, место и объем некоторых традиционных разделов, уточнить трактовку входящих в них понятий, более тщательно подойти к определению числа и содержания изучаемых в этих разделах утверждений, формул и пр. Существенно усилены пропедевтические резервы курса математики по отношению к содержанию важнейших разделов.

Сказанное безусловно относится к такой центральной для школьной математики теме, как решение уравнений. Это ее положение вызвано многими причинами. Среди них в первую очередь необходимо отметить инструментальный характер темы "Уравнения", изучение которой дает в руки учащихся мощный метод решения многочисленных практических задач. Это является непосредственным отражением той роли, которую играет метод уравнений собственно в математике и в естествознании. Процесс решения уравнений, рассматриваемых ы школе, позволяет объединить многие детали курса математики, проиллюстрировать разнообразные аспекты курса в ходе решения уравнений.

Именно поэтому изучение методов решения уравнений входит составной частью в содержание обучения математике на протяжении всех десяти лет пребывания учащихся в школе. Совокупность относящихся к этому вопросу знаний, умений и навыков учащихся образует определенную содержательно-методическую линию курса математики, пронизывающую весь материал обучения и тесно связанную с другими основными линиями курса - вычислительной, формально оперативной, алгоритмической, логической и др.

Повышение теоретического уровня курса математики привело и к значительному повышению уровня теоретического обобщения при изучении уравнений. Многие вопросы, относящиеся к решению уравнений, которые ранее приходилось объяснять "на пальцах", получили теперь точные и однозначные трактовки и формулировки. Последовательное проведение в курсе функциональной линии позволило связать изучение уравнений и неравенств с исследованием соответствующих функций и придать изучению уравнений функциональную направленность.

Вместе с тем распределенное по курсу математики школы изучение уравнений приводит и к определенным издержкам. Многообразие частных приемов, отсутствие обобщающей теории решения уравнений приводит к появлению ряда хорошо известных устойчивых ошибок, допускаемых учащимися при решении относительно более сложных уравнений. В практике работы школы наблюдается перенос частных приемов, развиваемых для конкретного типа уравнений, на другие типы, что приводит к появлению математических ошибок принципиального плана. Необходимость построения обобщающей теории, осознаваемая учителями, приводит их к самостоятельному включению в содержание обучения отдельных фрагментов таких теорий, часто математически некорректных и методически неэффективных. Среди учителей школ распространяются , по выражению члена-корр. АПН СССР В.Г.Болтянского, весьма устойчивые заблуждения, связанные с неверной оценкой таких неправильных и малоэффективных схем.

Все это говорит о необходимости введения в курс математики школы достаточно полной и математически корректной обобщающей теории решешщ уравнений и соответствующей методики их решения, более эффективной по сравнению с используемыми. Учитывая распространенный по курсу характер изучения уравнений, было бы нецелесообразно вести преподавание на уровне теоретического обобщения, соответствующем такому курсу как из-за необходимости учета возрастных особенностей учащихся и уровня их развития, так и вследствие сравнительно малой эффективности общих подходов при решении конкретных типов уравнений. По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно явной в последнем классе.

Следует заметить, что это обстоятельство вполне осознавалось составителями программ и авторами учебных пособий для школы. Включение в курс 10 класса соответствующей темы, а также активное привлечение решения уравнений в ходе заключительного повторения до определенной степени позволяют решить указанный вопрос.

Однако, достигнутый в этих разделах уровень теоретического обобщения совершенно недостаточен: по существу повторение организуется путем последовательного воспроизведения изученного ранее. В то же время богатые возможности обобщающего повторения остаются практически неиспользованными. Не случайно до настоящего времени исследователи и практические работники отмечают наличие тех же устойчивых ошибок в знаниях и умениях учащихся, что и раньше, наличие тех же устойчивых заблуждений учителей, а вслед зна ними и учащихся.

Вопросам решения уравнений в школьном курсе математики посвящено большое число диссертационных и других исследований. По примыкающим сюда вопросам защищено более 30 кандидатский диссертаций, выпущено более 20 пособий, опубликовано за последние 20 лет более 50 статей в журнале "Математика в школе". Здесь нет возможности даже перечислить все эти работы, представленные в списке литературы в конце диссертации.

Многие из этих работ посвящены разработке методов начального изучения уравнений - введению основных понятий (чаще на базе теоретико-множественных или логических рассмотрений), отбору способов и приемов решения конкретных типов уравнений, обоснованию выбора теорем о равносильности. Большая группа работ посвящена рассмотрению отдельных типов уравнений и методов их решения. Наконец, в ряде работ рассматриваются общие методики решения основных классов уравнений, связываемые обычно либо с определением областей задания участвующих в уравнениях функций, либо с использованием равносильных замен. Однако громоздкость и неэффективность соответствующих процедур позволяют считать этот вопрос не исследованным до конца.

Таким образом, налицо явное противоречие между необходимостью осуществления теоретического обобщения процесса решения уравнений в школьной математике, отсутствием необходимых материалов в школьных учебниках и недостаточной разработанностью вопроса в методической науке. Этим и определяется актуальность разработки темы "Методика решения уравнений в повторительном изучении математики".

Цель, проблема и частные задачи исследования.

В соответствии со сказанным выше, общая: цель настоящего диссертационного исследования заключается в создании научно-методических предпосылок введения в курс математики обобщающего повторительного раздела, посвященного решению уравнений. ю.

Для достижения этой цели надо решить комплекс научных и организационных проблем, связанных с обеспечением такого введения в собственно математическом, методическом и непосредственно практическом плане.

Поэтому в качестве ведущей при постановке настоящего исследования была избрана следующая про блема:

Разработать и научно обосновать математически корректную и педагогически эффективную методику решения уравнений, изучаемую в процессе обобщающего повторения решения уравнений в школьном курсе математики.

Решение поставленной проблемы складывалось из исследования следующих частных задач:

- исследовать психолого-педагогические и математические основы повторения решения уравнений с целью выявления особенностей структурирования и отбора содержания обучения;

- разработать систему требований к используемым процедурам решения уравнений, обеспечивающих педагогическую эффективность обучения решению уравнений в ходе обобщающего повторения;

- определить целесообразную методику решения уравнений в ходе обобщающего повторения и последовательность ознакомления с ней учащихся.

Первая задача исследования решена в Главе I диссертации; вторая и третья - в Главе П диссертации.

В процессе исследования темы использовались различные теоретические и экспериментальные методы исследования в их сочетании. Основу исследования составил анализ состояния изучаемого вопроса в практике работы школы, а также анализ состояния его изучения в специальной математической и методической литературе .

Теоретическое исследование проблемы включало в себя как обязательный компонент сопоставление позиций различных исследователей пр изучаемому вопросу, а также обобщение высказанных ими позиций с учетом использования тех из них, которые были ориентированы в том же направлении, что и настоящая работа.

Теоретичесвее исследование дополнялось многоплановым педагогическим экспериментом, в функции которого входило: непосредственная экспериментальная разработв:а методических рекомендаций и контроль за эффективностью предложенных положений. Наряду с непосредственным авторским преподаванием использовались следующие экспериментальные методы: наблюдение, интервьюирова-ниеи и анкетирование учащихся, проведение проверочных работ, преподавание на основе специально разработанных материалов и пр. База и этапы эксперимента описаны в § 6 диссертации.

Апробация и публикация результатов исследования.

Основные результаты исследования докладывались и обсуждались методической общественностью:

- на научно-методических конференциях зрителей в Тольяттинском политехническом институте в 1978, 1979 и 1980 г.г.;

- на Всероссийской научно-практической конференции преподавателей подготовительных отделений вузов в 1980 г. в г.Сыктывкаре;

- в экспертной комиссии вузов Поволжского региона по проблемам педагогики высшей школы в г.Куйбышеве в 1981 г.;

- на сессии Научного Совета по проблеме углубленного изучения отдельных учебных предметов по выбору учащихся при АПН СССР в г.Таллине в 1975 г.;

- на заседаниях лаборатории прикладной математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР в 1972, 1974, 1977, 1978 г.г.

Основные положения диссертации опубликованы в 7 публикациях диссертанта.

Научная новизна исследования.

Научная новизна исследования заключается в разработке комплекса требований к процедурам решения уравнений, изучаемым в ходе обобщающего повторения решения уравнений и в определении целесообразной и педагогически эффективной методики решения уравнений, удовлетворяющей этим требованиям.

Полученные и обоснованные в диссертации требования к методике решения уравнений в ходе повторительного сйббщения являются новыми и вполне оригинальными.

Отдельные элементы этой методики не являются новыми и рассматривались в работах ряда других авторов. Новым является их сочетание в рамках предложенной методики решения уравнений.

Практическая значимость работы.

Практическая ценность исследования связана с тем, что в нем разработана эффективная методика решения уравнений в ходе повторительного обобщения, пригодная для внедрения в школу. Самостоятельное практическое значение имеют выявленные требования к процедурам решения уравнений, позволяющие оценивать педагогическую эффективность используемых процедур.

Эта методика частично внедрена в практику работы подготовительных отделений вузов и ряда школ Куйбышевской области, используется при разработке факультативного курса по математике для средней школы в НИИ СиМО АПН СССР.