Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Капустин, Николай Юрьевич

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Капустин, Николай Юрьевич

Глава 1. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части

§1. Априорная оценка для классического решения.

§2. О существовании и единственности классического решения

§3. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

§4. Изучение задачи Трикоми спектральным методом

§5. О классической задаче с коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии, возникающей в теории задачи Трикоми.

Глава 2. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью

§1. Определения. Некоторые свойства пространства допустимых функций

§2. Априорная оценка для классического решения.

§3. О существовании и единственности классического решения.

§4. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

Глава 3. Задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии и задача со спектральным параметром в двух граничных условиях

§1. Построение биортогонально сопряженной системы для задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии.

§2. О равномерной сходимости ряда Фурье для задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии.

§3. О спектральной задаче из математической модели крутильных колебаний стержня со шкивами на концах.

Глава 4. Об одной смешанной задаче для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии

§1. О спектральной задаче, возникающей при решении смешанной задачи со смешанной производной.

§2. О корректности смешанной задачи со смешанной производной

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках»

Актуальность темы диссертации. Исторически, первые глубокие исследования в области уравнений смешанного типа появились в двадцатые годы двадцатого века. Ф.Трикоми [208,190] для эллиптико-гиперболического уравнения рассмотрел краевую задачу, которая сейчас называется задачей Трикоми для уравнения Трикоми. Затем С.Геллерстедт [202,203] исследовал обобщения задачи Трикоми для более общих уравнений эллиптико-гиперболического типа.

Новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М.А.Лаврентьева [124], Ф.И.Франкля [193], И.Н.Векуа [38], А.В.Бицадзе [34,35], Л.В.Овсянникова [157], К.И.Бабенко [27]. В этих работах указывалось на актуальность задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа в связи с трансзвуковой газовой динамикой, теорией магнитодинамических течений, теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Появились, также, работы по изучению краевых задач для параболо-гиперболических уравнений. Исследования в области теории уравнений смешанного типа стали проводиться не только по вопросам классической разрешимости краевых задач, но и по вопросам обобщенной разрешимости в различных функциональных классах, а также было начато активное изучение задач с нелокальными граничными условиями.

Уравнения смешанного параболо-гиперболического типа возникают при математическом моделировании различных процессов естествознания, например, при изучении движения газа или малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой. В канале газодинамическое давление жидкости или газа удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде описывается уравнением фильтрации, которое в этом случае совпадает с уравнением диффузии. Математическое исследование напряженности электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, приводит к системе, состоящей из волнового уравнения и уравнения диффузии. Многие задачи теплообмена в средах с различным временем релаксации и массообмена в капиллярно-пористых средах также сводятся к задачам для параболо-гиперболических уравнений. О математических моделях естествознания, приводящих к такого рода проблемам математического характера, написано в работах Я.С.Уфлянда [192], А.Г.Шашкова [198], А.М.Нахушева [151], Х.Азиза и Э.Сеттари [1].

В конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И.Моисеева [138-140], С.М.Пономарева [159,160], Т.Ш.Кальменова [80] положили начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В основе спектрального метода решения некоторых задач для уравнений параболо-гиперболического типа лежат задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Эти задачи возникают и в ряде математических моделей для уравнения одного параболического или гиперболического типа. Еще М.Пуассон [206] в 1820 г. рассматривал вопрос о движении тела, подвешенного к концу нерастяжимой нити. А.Кнезер [205] в 1914 г. изучал колебания струны с распределенной плотностью, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н.Крылов [121] и С.П.Тимошенко [187] рассматривали задачу о продольных колебаниях стержня, как одну из актуальных задач естествознания, к которой сводится теория индикатора паровой машины, изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Классическая задача о колебаниях струны или мембраны, нагруженной сосредоточенными массами, связана с изучением вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями и задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями и самоиндукциями, которые рассматривались А.А.Самарским [183] и А.А.Виттом [40], А.А.Виттом и С.П.Шубиным [41].

Спектральные задачи, возникающие в теории уравнений смешанного типа, как правило, являются несамосопряженными. Большой вклад в науку был внесен академиком В.А.Ильиным, получившим .фундаментальные результаты по спектральной теории для несамосопряженных дифференциальных операторов. Им установлены необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов, необходимые и достаточные условия базисности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. Им установлена связь между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора, проведено изучение вопроса о безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка [71-79].

В работе А.А.Шкаликова [197], опубликованной в 1983 г., построена общая теория спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных точках, где доказаны теоремы кратной базисности, разложения и полноты для выделенных классов краевых задач: регулярных, почти регулярных и нормальных. В различных функциональных пространствах доказаны теоремы полноты и базисности в зависимости от гладкости коэффициентов. А.М.Ахтямов в цикле работ [5-26], посвященных математическому моделированию и численному исследованию в диагностике закреплений и нагруженности механических систем, получил ряд новых важных результатов в теории обратных задач Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. Им предложены алгоритмы решения задач со сложным вхождением спектрального параметра в граничные условия, представлены соответствующие формулы диагностики механических систем и строительных конструкций. В работах З.С.Алиева [4], Н.Б.Керимова и З.С.Алиева [116-118], Н.Б.Керимова и В.С.Мирзоева [119] рассмотрены вопросы базисности в пространстве Ьр(0,1 ),р > 1 систем собственных функций некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвертого порядка со спектральным параметром в граничном условии. В некоторых случаях используются осцилляционные свойства решений и свойства пространств с индефинитной метрикой. Классические результаты по этим вопросам содержатся в работах А.Ф.Никифорова и В.Б.Уварова [156], Т.Я.Азизова и И.С.Иохвидова [2].

В работах В.М.Говорова [44,45], В.М.Говорова и М.Барновской [46] изучен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе 1/2 первой смешанной задачи для параболического и гиперболического уравнений с негладкими граничными и начальными условиями. Исследована точность априорных оценок решений в соответствующих классах. В диссертации в параграфах 1-3 гл. 1 и гл. 2 рассматривается вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе ¿2 задачи Трикоми для параболо-гиперболических уравнений с волновым в гл. 1 и вырожденным в гл. 2 операторами в гиперболической части. Для доказательства априорных оценок решений предложен метод вспомогательных функций, основанный на решении задачи Коши для уравнения первого порядка с разрывным коэффициентом, дающий возможность получать некоторую информацию о гладкости решения на линии изменения типа. Учет геометрии области при применении метода сглаживающих функций был проведен, например, в работах В.П.Диденко [53-56], Ю.В.Девингталя [49-51] и К.Моравец [204].

В параграфе 4 гл. 1 проводится исследование спектральным методом задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части в случае однородных граничных условий на характеристике в гиперболической части и на нехарактеристическом отрезке задания условий в параболической. Общий подход методом разделения переменных к изучению такого рода проблем для уравнений смешанного типа предложен в работах академика Е.И.Моисеева [138-145] на примере классических задач Трикоми и Франкля. В диссертации на основе анализа билинейного ряда, представляющего решение рассмотренной в параграфе 4 задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения, получена точная в классах Ьр и С априорная оценка этого решения и таким образом установлена максимальная гладкость обобщенного решения.

В параграфе 5 гл. 1 рассмотрена задача со спектральным параметром в граничном условии, которая возникает при решении методом разделения переменных задачи Трикоми, изученной в параграфе 4. В предположении, что постоянный коэффициент в граничном условии может принимать и комплексные значения, проводится исследование полноты, минимальности и базисности системы корневых функций, отвечающих этой спектральной задаче.

В параграфе 2 гл. 2 доказана априорная оценка решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырожденной на линии изменения типа гиперболической частью, которая в отличие от случая волнового оператора справедлива без условия "нормировки". В параграфе 1 этой главы изучены некоторые свойства пространства допустимых функций на характеристике в области гиперболичности, а параграф 4 посвящен доказательству теоремы об однозначной обощенной разрешимости в классе ¿2 этой задачи. При доказательстве в параграфе 3 леммы о классической разрешимости рассматриваемой в гл. 2 задачи Трикоми с достаточно гладкими правой частью уравнения смешанного типа и граничными функциями использовалась идея Ф.Трикоми [208] о сведении задачи к интегральному уравнению на линии изменения типа. Этот метод является классическим и применялся в работах многих авторов; для эллиптико-гиперболических уравнений описан в книгах А.В.Бицадзе [34,35] и М.М.Смирнова [186], а для параболо-гиперболических уравнений использован в работах О.А.Репина [166170], А.М.Нахушева [152,153], В.А.Елеева [57-63] и др.

В первом параграфе гл. 3 изучается задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии. Эта задача получается при решении методом разделения переменных смешанной задачи для уравнения теплопроводности с граничным условием в виде аналога оператора теплопроводности, в котором время и пространственная переменная поменялись местами. К этой же спектральной задаче приходят, когда решают вопрос о возможности почленного дифференцирования ряда, полученного при решении спектральной задачи с граничным условием третьего рода общего вида с линейным вхождением спектрального параметра. Рассматриваются вопросы полноты, минимальности, базис-ности и построения биортогонально сопряженной системы для выделенной минимальной подсистемы. Во втором параграфе главы 3 изучается равномерная сходимость в классах непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций соответствующих спектральных разложений.

Известная математическая модель, описывающая малые крутильные колебания стержня, состоит из волнового уравнения для угла поворота стержня, в котором коэффициент при операторе дифференцирования по пространственной переменной прямо пропорционален модулю сдвига, полярному моменту инерции поперечного сечения и обратно пропорционален моменту инерции единицы длины стержня, и соответствующих граничных условий. Если на обоих концах стержня находятся шкивы, то интерпретирующие действия сил граничные условия содержат вторые производные по времени. Решая соответствующую математическую задачу методом разделения переменных, мы получим спектральную задачу со спектральным параметром в обоих граничных условиях, рассмотренную в третьем параграфе гл. 3. К этой спектральной задаче можно свести методом разделения переменных задачу для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором и оператором теплопроводности в случае наличия двух линий изменения типа. Обсуждаются вопросы полноты, минимальности и базисности. В связи с этим отметим работу З.С.Алиева [3], опубликованную в 2010 г.

В гл.4 рассматривается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии, возникающая, например, при решении методом разделения переменных задачи о распространении тепла в среде, состоящей из участков, для которых принимаются различные гипотезы о конечности или бесконечности скорости распространения тепла. Математической моделью в этом случае служит начально-краевая задача для параболо-гиперболического уравнения теплопроводности с соответствующим равенством потоков на границе раздела, которое приводит к условию со смешанной производной. В связи с этим изучаются две задачи со спектральным параметром в граничном условии, которые появляются при решении этой смешанной задачи методом разделения переменных. В первом параграфе рассматриваются вопросы полноты, минимальности и базисности систем собственных функций, отвечающих спектральным задачам. Изучается равномерная сходимость разложений по указанным системам. В параграфе 2 отмечено, что эта смешанная задача в традиционной постановке некорректна, так как ее решение существует, но не единственно. Указано достаточное условие корректности и доказана единственность решения с помощью принципа максимума. Отметим, что одной из первых работ, где применялся принцип максимума для уравнений смешанного типа, была статья С.Агмона, Л.Ниренберга и М.Проттера

199]. Спектральным методом построено решение этой смешанной задачи в виде ряда.

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим работы Ж.Бен Амара и А.А.Шкаликова [29], Ж.Бен Амара [200],

A.А.Шкаликова [195,196], Ю.М.Березанского [30-32], Б.Т.Билалова [33], В.Д.Будаева [36,37], В.В.Власова [42,43], Г.Г.Девдариани [48],

B.И.Жегалова [64-67], А.Н.Зарубина [68,69], А.Г.Костюченко и

A.А.Шкаликова [120], А.Г.Кузьмина [122], В.М.Курбанова [123],

B.Б.Лидского [126,127], Ж.-Л.Лионса [128], И.С.Ломова [129132], А.С.Макина [133,134], Д.Б.Марченкова [135], С.В.Мелешко и Ю.В.Покорного [136], В.П.Михайлова [137], В.А.Нахушевой [154], З.А.Нахушевой [155], А.А.Полосина [158], А.В.Псху [161,162],

C.П.Пулькина [163], С.П.Пулькина и А.М.Ежова [164], Л.С.Пулькиной [165], О.А.Репина и С.В.Ефимовой [171], Е.М.Русаковского [172], К.Б.Сабитова [173-175], К.Б.Сабитова и Н.В.Мартемьяновой [176], К.Б.Сабитова и Л.Х.Рахмановой [177], К.Б.Сабитова и Э.М.Сафина [178,179], В.А.Садовничего, Я.Т.Султанаева и А.М.Ахтямова [180,181], А.П.Солдатова [184,185], Е.А.Уткиной [191], М.М.Хачева [194], С.Т.Фултона [201], М.Розо [207], Ж.Уолтера [209].

Цели исследования. 1) Изучение вопроса об однозначной обобщенной разрешимости в классе ¿2 задачи Трикоми с негладкими граничными условиями для параболо-гиперболических уравнений с волновым оператором в гиперболической части и вырождающимся на линии изменения типа гиперболическим оператором; 2) получение спектральным методом точной априорной оценки в классах Lp и С решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части в случае, допускающем применение метода разделения переменных; 3) изучение полноты, минимальности и базисности в пространстве р > 1 систем корневых функций классических задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории уравнений смешанного типа, а также формулировка условий, обеспечивающих сходимость соответствующих спектральных разложений в классах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций на отрезке; 4) решение спектральным методом вопроса о корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии для оператора теплопроводности, возникающей при описании процесса теплопередачи параболо-гиперболическим уравнением.

Научная новизна полученных результатов. Доказаны новые теоремы как в теории параболо-гиперболических уравнений, так и в спектральной теории задач с параметром в граничных условиях. В случае, допускающем спектральный подход к решению задачи Трикоми, установлена точная в классах Ьр и С априорная оценка решения и, тем самым, доказана максимальная гладкость обобщенного решения. Сформулировано условие корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. Получены новые результаты по вопросам полноты, минимальности и базисности в пространствах Ьр, где р > 1, С, С1 систем корневых функций задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории уравнений смешанного типа.

Методы исследования. Для получения априорных оценок решения задачи Трикоми для параболо-гиперболических уравнений используется метод вспомогательных, сглаживающих функций. В случае спектрального подхода для получения априорных оценок - анализ представляющего решение билинейного ряда с использованием принципа максимума и классических неравенств из функционального анализа. Для изучения вопросов базисности в Ьр, р > 1 вводится вполне непрерывный оператор как функция выделенной минимальной подсистемы и соответствующего известного ортонормированного базиса с предварительным построением биортогонально сопряженной системы и выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Сходимость спектральных разложений в классах С, С1 установлена на основе асимптотических формул для функций биортогонально сопряженной системы и последующим учетом граничных условий нелокального характера.

Практическая и теоретическая значимость результатов. Полученные в диссертации результаты и подходы к исследованиям могут быть использованы при дальнейшем развитии теории уравнений смешанного типа, спектральной теории несамосопряженных операторов, а также в других областях математики. Возможно широкое применение этих результатов при математическом моделировании процессов колебаний нагруженных тел, газодинамических процессов, различных физических явлений в теории теплообмена и массообмена в капиллярно-пористых средах.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на многих семинарах и конференциях, из которых можно выделить следующие: научно-исследовательский семинар кафедры общей математики факультета ВМК МГУ под руководством академика В.А.Ильина, академика Е.И.Моисеева и чл.-корр. РАН И.А.Шишмарева, научно-исследовательский семинар кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ под руководством академика Е.И.Моисеева, научно-исследовательский семинар кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством профессора А.А.Шкаликова, 3-rd and 4-th Internatinal Conference on Applied Informatics (1997 and 1999, Eger-Noszvaj, Hungary), XXIII Seminar on Stability Problems for Stochastic Models (2003, Pamplona, Spain), Международная конференция "Тихонов и современная математика"(2006, Москва), конференция факультета ВМК МГУ "Тихоновские чте-ния"(2010, Москва), конференция МГУ "Ломоносовские чтения"(2011, Москва), посвященная 300-летию со дня рождения М.В. Ломоносова.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в работах автора [81-101] и работах [106,146,147], выполненных совместно с Е.И.Моисеевым.

Автор выражает глубокую благодарность академикам Владимиру Александровичу Ильину и Евгению Ивановичу Моисееву за постоянное внимание к его научной деятельности и поддержку.

Сформулируем более подробно основные результаты диссертации.

В параграфе 1 главы 1 для классического решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части ихх(х,у)-иуу) ПС1 (.О) ПС1,2(.0+) П являющаяся решением уравнения (1.1) в областях и удовлетворяющая граничным условиям и(х,у)\сА = 'Ф(у)1 и(х,у)\АМ = /(у), и(х,у)\мм = (1-2) я,!/) 6 Ср+и^"), ^(у) € С[-1/2,0],/(у) € С[0,1],#г) е

С[0,1],-0(0) = /(0), /(1) = </>(0), установлена справедливость априорной оценки.

Лемма 1.1. Пусть функция и(х, у) - классическое решение задачи Трикоми (1.1)-(1.2), причем ф