. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

1 Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих частей равенства (77) неопределенный интеграл: d ( u v) udv vdu или uv udv vdu Отсюда имеем: udv uv vdu (78) Равенство (78) называется формулой интегрирования неопределенного интеграла по частям Если подынтегральные выражения в равенстве (78) рассматривать как произведение двух сомножителей, то формула интегрирования по частям переводит один интеграл в другой, где дифференцирование от одного множителя подынтегрального выражения переведено на другой множитель Действительно, подынтегральное выражение интеграла слева в равенстве (78) равно udv u v d, а подынтегральное выражение интеграла правой части равенства (78) равно vdu v u d Здесь нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы замена u на du и dv на v в итоге упрощала подынтегральное выражение Приведем некоторые типы интегралов, которые удобно раскрывать методом интегрирования по частям:, P sin d, P cos d, P e d где P( ) многочлен, R В этом случае удобно положить u P выражения обозначить dv P rcgd, P rccgd В этом случае удобно положить dv P ln d, P rcsin d, P rccos d, выражения принять за u 3 e sinbd, e cosbd, где, В этом случае можно принять за u e, а остаток подынтегрального P d, а остаток подынтегрального b R

2 Замечание В первом случае формулу интегрирования по частям применяют n раз, понижая каждый раз показатель степени многочлена на единицу Ко второму случаю можно отнести также интегралы, у которых отсутствует многочлен, а аргументы логарифмической или обратных тригонометрических функций более сложные Рассмотрим конкретные примеры применения метода интегрирования по частям Пример u, dv sin d, sin d cos cos d cos sin C du d, v cos Пример u, ed dv, e d e e d e e C du d, v e Пример 3 u ln, d dv, d du, 4 d ln d ln ln C v Пример 4 u, u, du d, dv sin d, cos d dv, du d, v sin v cos cos d sin sin d sin cos cos d sin cos sin C Пример 5

3 e u, e u, sind dv, co s d dv e sin d e cos cos e d du e d, du e d v cos v sin e cos e sin e sind Пусть e sind F В этом обозначении равенство e sin d e cos e sin e sin d Перепишем так: F e sin e cos F, то есть относительно получили линейное уравнение Отсюда находим: e sin e cos F e sin e cosили F Возвращаясь к прежнему обозначению, окончательно находим: e sin e cos e sind C F мы Интегрирование рациональных дробей Под рациональной дробью понимается отношение двух многочленов: ϕ (79) f n n где ϕ, 0 n m m 0 m f b b b b, х независимая переменная,, ( i 0,n ),b ( j 0,m) действительные числа nm, N i j Если n m, то дробь (79) является неправильной В этом случае делением числителя на знаменатель дробь (79) можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби ϕ Действительно, пусть Деля ϕ на f ( ), будем иметь: Следовательно, дробь ϕ f n m , f ( остаток 4 6 8) можно представить в следующем виде:

4 В дальнейшем будем полагать, что дробь (79) является правильной и несократимой По основной теореме алгебры корнями (или нулями) многочлена m m f b b b b являются либо действительные числа, 0 m либо комплексные (сопряженные) числа, число которых равно степени многочлена, причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность f, то По теореме Безу, если является нулем многочлена справедливо равенство f ( ) f, где f многочлен, степень которого на единицу меньше степени f ( ) Также легко доказать, что если он имеет и сопряженный корень α m f имеет комплексный корень α iβ, то iβ f можно представить Следовательно, по теореме Безу в виде f ( α iβ) ( α iβ) f Действительно, перемножив линейные множители ( ( α iβ) ) ( ( α iβ )) получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами Покажем это α iβ α iβ α iβ α iβ ( ) ( )( ) α β α α β p q, где p α; q α β То есть f ( p q) f, где f ( ) многочлен, степень которого на две единицы меньше, чем степень f ( ) Отсюда следует по основной теореме алгебры, что всякий многочлен степени n можно представить так: r α α f p q p q ( r ) ( ) ( ) αµ ( µ µ ) где r α α αµ p q, n В этой связи рациональную дробь ϕ ϕ f можно рассматривать как отношение r ( αµ ) ( αµ r p q pµ qµ ) Рассмотрим частный случай, когда f ( ) f

5 Покажем, что в этом случае правильную рациональную дробь можно представить в следующем ϕ ϕ виде: f f отличное от нуля; знаменателя ( ) f Действительно, ϕ f Число обратился в нуль: ϕ ( ) f, где действительное число, ϕ многочлен, степень которого меньше степени f ϕ f ( ) f ϕ f ( ) ( ) f подберем таким, чтобы многочлен f ϕ ϕ f 0 > (80) f ϕ в точке Таким образом, если определить равенством (80), то по теореме Безу f ( ) ϕ ϕ или Отсюда находим, что ϕ ϕ f f ϕ ϕ f f, (8) Применяя заданное разложение повторно раз, получим ϕ ( ) ( ) ( ) f α По аналогии, если f ( p q ) f то получим, ϕ f

6 ϕ ϕ M N f p q f p q α α ( ) ( ) α ( p q) f ( p q) ( p q) ϕ M N α M N α α α α где M i( i, i),ni( i, i) M N ϕ p q f α α являются действительными числами Таким образом, правильную несократимую рациональную дробь, знаменатель которой имеет действительные и комплексные корни, можно представить в следующем виде: ϕ ϕ r α f r ( p qµ ) α αµ ( p ) ( ) ( ) q p q µ µ ( ) r r rr r r ( ) ( ) ( r ) r M N M N r α α α α ( p ) ( p q) q p q M N M N α α α α ( p ) ( p q) q p q M N M N M N M N M N µ µ µ µ µα µ µαµ αµ αµ ( p q ) ( p q ) ( pµ qµ ) µ µ µ µ (8) Из разложения (8) следует, что интегрирование правильной несократимой рациональной дроби всегда можно привести к интегрированию рациональных дробей следующих видов: ) ; ; ) 3) M N p q M N ; 4) ( p q) называемых простейшими Перейдем к интегрированию простейших рациональных дробей,,

7 d ln C d ( ) d C M Mp ( p) N M N 3 d d p q p q M d( p q) Mp d N p q p q p M Mp ln p q N rcg 4q p 4q p M N Mp p ln p q rcg C 4q p 4q p M N M d( p q) p q ( p q) ( p q) ( p q) ( ) 4 d где Mp d M Mp N N J, J d (83) ( p q) Интеграл (83) берется методом понижения порядка, по так называемой рекуррентной формуле, основная идея которой заключается в выражении интеграла (83) аналогичным интегралом, степень знаменателя которого будет меньше степени интеграла на единицу (83) Имеем:

8 J d d ( p q) p 4q p p, 4q p d, d ( ) ( ) d d d d ( ) (84) ( ) Второй интеграл в равенстве (84) возьмем по частям: u, d( ) d dv, d ( ) du d, ( ) ( ) v d (85) Равенство (83) с учетом полученного равенства (85) перепишется так: d d J ( ) ( ) J ( ) d или 3 J ( ) ( ) ( ) (86) Применяя формулу (86) последовательно раз, придем к интегралу

9 d J rcg C (87) Подставляя затем вместо и а их соответствующие выражения, получим выражение интеграла (83) через действительные числа M, N, p и q Примеры d B ( ) B( ) Дробь Отсюда находим, что ( ) B( ) Ввиду тождественности последнего равенства положим : B ( ); B ; пусть, получим ; Следовательно, заданный интеграл можно разбить на два интеграла d B d d d( ) d( ) d d B ln ln C ln C Заданный интеграл можно раскрыть, если воспользоваться табличным du u интегралом ln C u u d( 4) d d d Воспользуемся табличным интегралом du u ln C u u Имеем: d d( 4) 4 3 ln C ln C d d d Для раскрытия последнего интеграла воспользуемся табличным интегралом du u rcg C u В нашем случае u 5; 4 Имеем: d d( 5) 5 rcg C

10 4 Рассмотрим интеграл d d, d 5 d d ( ) По формуле (86), где,, имеем: d d rcg C 8 6 ( ) 8 ( 4) 8 ( 4) rcg C ( ) Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций Так как все тригонометрические функции рационально выражаются через синус и косинус, то, следовательно, всякая функция, рационально зависящая от тригонометрических функций, может быть преобразована в соответствующую рациональную функцию только синуса и косинуса Поэтому достаточно будет рассмотреть интегрирование функций, рационально зависящих от синуса и косинуса Рассмотрим интеграл R( sin ; cos ) d, (88) R sin ; cos является рациональной функцией sin и cos где Интегралы типа (88) называются тригонометрическими интегралами Интеграл (88) приводится к интегралу от рациональной функции переменной при помощи универсальной подстановки g (89) Действительно, если воспользоваться известными из школьного курса тригонометрическими формулами, то легко выразить sin, cos и g через переменную : g g sin ; cos ; g g d g ; d (90)

11 Подставляя найденные выражения sin и cos, g и d в выражение подынтегральной функции (), получим интеграл от рациональной функции переменной : d R ; (9) Пример универсальная q подстановка d sin, d 3sin 4cos cos, ( ) 3 4 d d 3 d d d d q 4 4 ln C ln C ln C q В некоторых частных случаях быстрее приводят к цели другие подстановки, так как универсальная подстановка на практике в большинстве случаев приводит к интегрированию сложных рациональных функций Рассмотрим следующие частные случаи R( sin ) cos d, где Подстановка sin функции переменной : Пример 6 sin cod sin d C C R sin является рациональной функцией sin R d приводит этот интеграл к интегралу от рациональной sin, cos d d

12 R cos sin d Подстановка cos R d функции переменной : Пример ( 3 5cos ) Подстановкой g функции переменной : 3 приводит этот интеграл к интегралу от рациональной cos, sin d d, 0 sin d 0 0 cos 0 ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5) ( 3 5cos) d 55 C 55 C R g d данный интеграл сводится к интегралу от рациональной g, d R( g) d rcg, R() d d Пример g, d ( 3g ) d d ( 3 ) d 3 d 3 rcg C 3 g C R d, 4 ( n sin ; cos m ) где подынтегральная функция является рациональной функцией от четных степеней синуса и косинуса переменной интегрирования Заданный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции переменной подстановкой g :

13 g, g sin, g n m R( sin ; cos ) d cos, g d d n m d R ; Пример g, d d d d, 3 cos 3 cos 3 3 g rcg C rcg C 6 6 Интегрирование иррациональных функций Рассмотрим наиболее распространенные неопределенные интегралы от иррациональных функций, которые с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, выражаются через элементарные функции Интегралы, подынтегральные функции которых содержат различные радикалы переменной : p m n q R. d, где mn. pq, являются целыми положительными числами Заданный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции с s помощью замены переменной, где s общий знаменатель всех показателей степеней

14 Пример d, d 6 d, d , ( ) 6 d 6ln 6ln C 6 ln C ln C ( ) 6 ( ) 6 6 Интегралы, содержащие различные радикалы от дробно-линейной функции Дробно-линейной функцией от переменной называется функция от дроби b c d, где. bcd действительные числа Следовательно, мы рассматриваем интегралы следующего типа: где mn. m p b n b q R. d, c d c d pq являются целыми положительными числами Данные интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби путем подстановки b c d s, где s общий знаменатель всех показателей степеней 3 Пример 3 ( 3 ),, 3 d ( ) 5 ( ) d 6 d, ( ) d 3 3 C 3 3 C Рассмотрим интегралы от иррациональной функции, которые приводятся к рациональным функциям с помощью замены переменной и подстановки Данные интегралы нами приведены как табличные

15 v sin;dv cosd, v dv v sin cos, v v sin, rcsin cos cos cosd cos d d d cosd sin C 4 v v rcsin sin cos C rcsin C sin rcsin v v v v rcsin v cos rcsin C C v v rcsin v C v rcsin v v ± v v, ( v ± v) dv vdv d d dv dv, v ± v ± v ± dv d dv d, ± ± v v ± ln C ln v v C

16 3 d d d dv, u, d du v, d d ln d d В правой части последнего равенства мы имеем исходный интеграл Переносом этого интеграла в левую часть окончательно находим d ln или d ln C Для привития навыков интегрирования рассмотрим дополнительный перечень интегралов, заданных не по типам, чтобы в каждом конкретном случае читатель мог сам выбрать тот или иной эффективный способ интегрирования Пример 3 3 8, 3 8 d 6 d C d d C ( 3 8 ) C 9 9 Пример, e, e d d e d e C e C d d Пример 3 d d 3 3 ln C d Последнее вытекает из табличного интеграла ln C ± ± Пример 4

17 3 cos, sin d d cos sin d, d d 3 cos d sin d, C sin d d 3 cos C Пример 5 ln u, d dv, d ln d d ln ln C du, v Пример 6 rcsin u, d dv, rcsin d d rcsin d rc sin du, v ( ) d rcsin ( ) C rcsin C Пример 7 5 u, 3 e d dv, e d du d, e e d v e d e e e C e C e C Рассмотрим пример, где потребуется дважды применять интегрирование по частям Пример 8

18 u, u, ed dv, ed dv, ed e ed du d, du d, v e v e e e ed e e e c e e e C Пример 9 6, 6 5 d d, d d, d, d 6( ) d rcg C rcg C 7 5 Пример 0 d d( 3 ) d ln 3 C Пример 3 ( 3) d d d d 4 4 ( ) d 5 d 5 d ln 5 C ln C Пример J d d d В числителе выделим дифференциал знаменателя: 3 d d 4

19 3 3 d 4 3 d J d ln rcg C 3 3 ln 3rcg C 3 Пример 3 d d B ( ) B( ) ( )( 3) 3 ( )( 3) ( 3) B( ) > Полагаем х : А; А Полагаем х 3: 3 В 3 Таким образом, имеем: 3 3 Следовательно, заданный интеграл можно переписать так: 3 d ln 3 3 d ln C Пример 4 Найти d 3 8 Разложим знаменатель на линейные множители 3 8 ( 8) ( )( 4) Представим рациональную дробь в виде трех слагаемых с 3 8 линейными знаменателями: B C ( )( 4) B ( 4) C B C 4 4 Отсюда, полагая х 0, получим 8А; А 4

20 Полагая х, получим 4 4 В; В 6 Полагая х 4, получим 6 8 4С; С 3 d d 3 d d 3 Отсюда находим, что ln ln ln C 4 6 Пример 5 d d 0 0 d d d ( ) ( 5) 36 6 ( 5) Для раскрытия последнего интеграла воспользуемся табличным интегралом du u rcsin c u В нашем случае а 6; u х 5 Имеем: ( ) d d 5 5 rcsin c Пример 6 3 d d d d ln C ln C