Задания по теме «Иррациональные функции»

Найдите точки минимума функции y=\sqrt.

Область определения: x^2+60x+1000 \geqslant 0;

x^2 +2\cdot30x+30^2+(1000-30^2)= (x+30)^2+100>0 для всех вещественных значений x . Заметим, что функция y=\sqrt t строго возрастает на множестве t\geqslant0. Отсюда точка минимума исходной функции совпадёт с точкой минимума x_0 функции x^2+60x+1000. Точка минимума квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом совпадает с абсциссой вершины соответствующей параболы. Вершина параболы имеет абсциссу x_0=-\frac=-30.

Задание №1125

Найдите точку максимума функции y=\sqrt.

Область определения: 102+16x-x^2 \geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

Заметим, что при x=8 выполняется неравенство 102+16\cdot 8-8^2=166>0, отсюда x=8 принадлежит ОДЗ и функция дифференцируема в этой точке. При этом для значений x , принадлежащих ОДЗ, y'>0 при x<8 и y'<0 при x>8. Таким образом, x=8 — единственная точка максимума рассматриваемой функции.

Задание №1120

Найдите точку минимума функции y=x\sqrt x-9x+724.

ОДЗ: x \geqslant 0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^\tfrac12-9x+724;

Найдём производную: y'=\frac32x^\tfrac12-9. Вычислим нули производной:

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=36 является единственной точкой минимума заданной функции.

Задание №1107

Рассмотрите функцию y=\sqrt и найдите ее наибольшее значение.

Для неотрицательных t функция \sqrt t возрастает, поэтому наибольшее значение выражения \sqrt t будет при наибольшем значении t .

Заметим, что -500-60x-x^2= -(x^2+60x+500) = -(x^2+2\cdot30x+30^2+(500-30^2))= -(x^2+60x+900)+400= -(x+30)^2+400\leqslant400.

При этом очевидно, что -(x+30)^2+400=400 при x=-30.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 20 .

Задание №953

Найдите наименьшее значение функции y=x\sqrt x-6x+2000 на отрезке [2; 30].

ОДЗ x\geqslant0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^-6x+2000,

Найдём производную: y'=\frac32x^-6.

Вычислим нули производной: \frac32x^-6=0,

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции

Из рисунка видно, что на отрезке [2; 16] исходная функция убывает, а на отрезке [16; 30] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [2; 30] достигается при x=16 и равно y(16)= 16\sqrt-6\cdot16+2000= 64-96+2000=1968.

Задание №948

Рассмотрите функцию y=\sqrt и найдите её наименьшее значение.

Для неотрицательных t функция \sqrt t возрастает, значит, \sqrt t наименьшее при наименьшем значении t . Преобразуем выражение под знаком корня.

Заметим, что x^2+40x+625= x^2+2\cdot20x+20^2+(625-20^2)= (x^2+40x+400)+225= (x+20)^2+225\geqslant225, причём при x=-20 достигается равенство.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 15 .

Задание №119

Найдите наибольшее значение функции y=11+24x-2x\sqrt на отрезке [63; 65] .

Выполним преобразования и вычислим производную.

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

На отрезке [63; 65] лежит только одна точка 64 .

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума

При переходе через точку x = 64 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 64 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = 64 .

Наибольшее значение функции равно 523 .

Задание №118

Найдите наименьшее значение функции y=\frac23x\sqrt-6x-5 на отрезке [9; 36] .

Выполним преобразования и вычислим производную.

Уравнение производной имеет один единственный корень x = 36 .

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 36 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 36 – точка минимума функции.

Найдем наименьшее значение функции в точке x = 36 .

Наименьшее значение функции равно −77 .

Задание №116

Найдите наименьшее значение функции y=\sqrt .

Вычислим производную функции.

Уравнение производной имеет один единственный корень x = −5 .

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция в точке -5.

Из рисунка следует, что x = −5 – единственная критическая точка функции и это точка минимума.

Для нахождения наименьшего значения функции, необходимо вычислить ее в полученной точке экстремума.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

• Приглашаем в команду
• Реклама

© 2016—2022 Все права защищены.

Служба поддержки портала

• Математика
  • Справочник по математике

  Добавьте сайт в закладки Нажмите Ctrl + D

  Сохраните в соц. сети

  Подготовьтесь к экзаменам!

  Создайте стандартный или индивидуальный тест и получите предварительные результаты экзамена онлайн

  📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎