Тема урока: "Область определения и графики функций, содержащих логарифмы"

1. Совершенствование умения находить область определения функции.

2. Повышение навыков преобразования выражений, содержащих логарифмы.

3. Выработка навыков построения графиков функций, содержащих логарифмы,

используя область определения функции.

4. Применение полученных знаний в нестандартных ситуациях.

I. Проверка домашней работы.

II. Повторение пройденного материала.

III. Проблемная ситуация.

IV. Устные упражнения.

V. Построение графиков функций:

а) объяснение учителя;

б) работа учащихся у доски;

в) самостоятельная работа учащихся.

VII. Домашнее задание.

Учащиеся объясняют, с помощью каких преобразований построены графики функций:

а) y = б) y = г) y = (см. рис.1-3)

Графики построены на обратной стороне крыла доски (можно использовать кодоскоп).

Дополнительные вопросы классу:

1. Какая функция называется логарифмической?

2. Укажите область определения логарифмической функции.

3. Укажите область значения логарифмической функции.

4. Когда логарифмическая функция возрастает, когда убывает?

1. Решите уравнение:
2. Вычислить:
3. Упростить выражение:
4. Произведение и равно …
5. Найти значение выражения:
6. Найти область определения функции: y = .

1. ,
2. y = , x – 12 > 0, x > 12

Учащиеся самостоятельно проверяют свои работы. За верно решенные 4 задания ученики ставят себе оценку “3”. За верно решенные 5 заданий ставят “4”. За верно решенные 6 заданий – оценка “5”. Учитель просит поднять руки тех учащихся, кто написал на “5”, затем тех, кто на “4”, кто на “3” и кто на “2”. Оценки в журнал не заносятся, но они служат учащимся (и учителю) сигналом – какие пробелы надо ликвидировать.

Здесь можно провести небольшой игровой момент. Учитель вызывает к доске ученика, который получил за диктант оценку “5” и предлагает игру “Счастливый случай”. Если ученик за 1 минуту успеет ответить на 5 вопросов, которые задает учитель, то оценка “5” за диктант ставится в журнал. (Можно вызвать любого ученика и предложить повысить на 1 балл оценку, полученную за диктант.)

Ученик может отвечать устно, может записывать ответы, поэтому ему надо заранее взять мел в руки. Заранее нужно подготовить и песочные часы на 1 минуту, по ним очень интересно наблюдать за продолжительностью ответа.

Вопросы тесно связаны с математическим диктантом:

1. Дать определение логарифма числа.

2. Записать основное логарифмическое тождество. Если ученик пишет: , тогда следующий вопрос звучит так:

3. Для каких a и b справедливо это тождество?

4. Формула перехода от одного основания логарифма к другому.

5. Чему равен логарифм произведения?

Если время остается, то можно спросить:

6. Чему равен логарифм частного?

7. Чему равен логарифм числа по этому же основанию?

8. Чему равен логарифм единицы по любому основанию?

Учитель предлагает учащимся внимательно посмотреть видеосюжет с выпускного экзамена по алгебре и началам анализа в 11-ом классе и ответить на вопросы. (Конечно, видеосюжет снят не на самом экзамене, а только моделирует данную ситуацию). Видеосюжет (<Приложение1>) состоит в следующем:

Идет устный экзамен. У доски ученица отвечает на третий вопрос билета: “Построить график функции y = .

Выпускница говорит: ”Применив основное логарифмическое тождество, имеем: y = x. Графиком данной функции является прямая – биссектриса I и III координатных углов.” Выпускница показывает на график, построенный на доске (рисунок 4).

Председатель экзаменационной комиссии говорит, что график построен неверно, и дает время подумать и исправить допущенную ошибку. На экране телевизора остается график функции y = x, а учитель задает классу вопрос: “Где же была допущена ошибка?”. Если учащиеся не смогут быстро ответить на поставленный вопрос, то учитель задает дополнительные вопросы:

1) Верно ли, что графиком функции y = x является биссектриса I и III координатных углов? Ответ: “Да”. – Значит, здесь нет ошибки.

2) Верно ли, что ? Ответ: ”Верно”

– Значит, и здесь нет ошибки.

3) Для каких x справедливо основное логарифмическое тождество?

Ответ: “Для x > 0” – Про что же забыла девочка? Ответ: ”Про область определения функции y = : x (0; + )”.

Значит, на чертеже надо оставить ту часть графика, которая соответствует x > 0. Точку с координатами (0;0) “выкалываем”, она не принадлежит графику. Верный график строится на доске (рис.5).

Далее учитель говорит: ”Чтобы уберечь вас от таких ошибок на выпускных и вступительных экзаменах, я и провожу сегодняшний урок по теме: “Область определения и графики функций, содержащих логарифмы”.

Наша задача: 1) Найти область определения функции.

2) Упростить данную функцию, если это возможно.

3) Построить график полученной функции, совпадающей с исходной на найденной области определения.

1. y = .
2. y =
3. y =
4. y =

(Графики изображены заранее на плакате (рис.6), его легче чертить на миллиметровой бумаге, можно использовать кодоскоп.)

1) , если x 2 > 0; значит x (- ?;0) (0; + ?) Ответ: п. а)

2) , если x 3 > 0; значит x (0; + ?) Ответ: п. в)

3) , если > 0; значит x (0; + ) Ответ: п. б)

4) , при этом , значит x 0, x ±1. Ответ: п. г).

а) №1 (решает учитель)