Материалы для экзамена по геометрии 8 класс методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

ТРЕУГОЛЬНИК-это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным ;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным .

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами , а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

АВ, ВС- боковые стороны

*Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. АВ=ВС

*Треугольник ,все стороны которого равны, называется равносторонним.

* В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

*В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой.

(Биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника совпадают)

ПОЭТОМУ: * Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

*Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности. ( Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла)

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

В ромбе сторона равна 44, одна из диагоналей — 44, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Один угол параллелограмма в пять раз больше другого угла этого параллелограмма. Найдите градусную меру меньшего из углов параллелограмма.

Предварительный просмотр:

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным ;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным .

СВОЙСТВА .ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

1 Определения. Признаки. Свойства

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой , две другие стороны называются катетами .

Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Свойства прямоугольного треугольника

*Медиана , проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы .

*Только в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне треугольника и совпадает с серединой гипотенузы .

*Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

*Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

*Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.

Площадь прямоугольного треугольника

( h - высота, проведенная к гипотенузе )

Признаки прямоугольных треугольников

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Если медиана треугольника равна половине соответствующей ей стороны, то треугольник прямоугольный.

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 3 м?

В ромбе сторона равна 54, одна из диагоналей — 54, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Основания трапеции относятся как 1:11, а средняя линия равна 48. Найдите большее основание трапеции.

Предварительный просмотр:

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным ;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным .

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний

угол Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним : BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a b + c , a > b – c ; b a + c , b > a – c ; c a + b , c > a – b ).

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 1:29. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

В ромбе сторона равна 16, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Средняя линия трапеции равна 11 ,а одно из её оснований больше другого на 12 . Найдите меньшее основание трапеции.

Предварительный просмотр:

Признаки равенства треугольников

Треугольники называют равными , если их можно совместить наложением .

Признаки равенства треугольников

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны

Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признак равенства треугольников по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 1), две другие стороны называют катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:13. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

В ромбе сторона равна 22, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 124градуса , АС=ВС . Найдите градусную меру угла С.

Предварительный просмотр:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Аксиома о параллельных прямых

Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Следствие 1 Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

В ромбе сторона равна 68, одна из диагоналей — 68, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна . Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 17 , основание АС равно 16 . Найдите тангенс угла А.

Предварительный просмотр:

ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам .

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны , то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны , то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырехугольник- параллелограмм.

Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2 . Найдите площадь треугольника.

Градусные меры углов треугольника относятся как 3:5:7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТ №7

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной

Общие свойства

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность , то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описатьокружность .
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписатьокружность .
Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

Следствие . Площадь трапеции равна произведению средней линии и высоты.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Историческая справка. К 6 веку до нашей эры главным городом греческого государства был Милет.

В это время в Греции был расцвет науки и культуры. Почти все философы Древней Греции тщательно занимались математикой, в частности, геометрией.

Фалес – купец, политический деятель, астроном, математик, живший в Милете, первый доказал ряд геометрических теорем. Эти положения были частично известны еще вавилонянам и египтянам, но в отличие от вавилонской и египетской геометрии, имевшей преимущественно практический характер, греческая геометрия характеризуется стремлением установить, что геометрические факты справедливы в любом случае.

К сожалению, до нас не дошли работы Фалеса и другие первоисточники, относящиеся к раннему периоду развития греческой математики, когда создавались первые математические доказательства. Мы можем судить о том времени только по отдельным отрывкам, сохранившимся в более поздних сочинениях.

Как философ, Фалес учил, что явления мира не случайны, мир не хаотичен, а закономерен. Он считал, что вода есть начало всего. Из нее возникло все существующее и в нее, в конце концов, опять превращается.

Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года, впервые наблюдал Малую медведицу. Особую славу ему принесло предсказание солнечного затмения, происшедшего в 585 г. до н. э. Вот почему он был причислен к группе “семи мудрецов древности”.

Фалес также входил в число знаменитых семи мудрецов, чьи изречения дошли до наших дней. Ему приписывают следующие:

Старше всех вещей – Бог, ибо он не рожден.
Прекраснее всего – космос, ибо он – творение Бога.
Больше всего – пространство, ибо оно вмещает всех.
Мудрее всего - время, ибо оно обнаруживает всё.
Быстрее всего – мысль, ибо она бежит без остановки.
Сильнее всего – необходимость, ибо она одолевает всех.

В прямоугольнике одна сторона равна 13, периметр равен 62. Найдите площадь прямоугольника.

Один из внешних углов треугольника равен 132 градуса. Углы треугольника ,не смежные с данным внешним углом , относятся как 5:6. Найдите градусную меру большего из этих углов.

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АС=10 , синус угла А равен 12:13 .Найдите сторону ВС.

Предварительный просмотр:

Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.

все свойства параллелограмма ;
диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.

все свойства параллелограмма ;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник , у которого все стороны равны.

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна . Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника

В треугольнике АВС : угол С равен 90 градусов , АВ =25 , тангенс угла А равен 0,75. Найдите сторону АС.

Предварительный просмотр:

Площади основных фигур:

2) Формулы площади треугольника

где (Формула Герона)

, где r- вписанной окружности

, где R — радиус описанной окружности

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 17:73. Ответ дайте в градусах.

Сторона ромба равна 90, а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба

В треугольнике АВС : угол С равен 90 градусов , ВС=2√6, АВ=2√30 .Найдите тангенс угла А.

Предварительный просмотр:

Введем понятие подобных треугольников.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

4) Признаки подобия двух треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Коротко: если , то

2-й признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если и , то

3-й признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть

Коротко: если , то

5) Свойства подобных треугольников

и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:

7) Свойство медиан в треугольнике.

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и деляться этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть

Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

8) Свойство биссектрис в треугольнике Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике Теорема : Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противопорложной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

11) Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:9:10:16 . Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Один угол параллелограмма больше другого на 44 градуса . Найдите градусную меру большего из углов параллелограмма.

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС =1 , АС=√15 . Найдите косинус угла В.

Предварительный просмотр:

Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

2) Теорема Пифагора : квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

3)Теорема, обратная теореме Пифагора : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

В треугольнике ABC угол внешний угол при вершине А равен 123 0 , а внешний угол при вершине В равен 63 0 . Найдите угол С треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АД, АВ равна 4 см , АС=8 см,ВС=6 см. Найти ВД, СД.

Четырехугольник АВСД вписан в окружность. Угол АВС равен 135 градусов, угол САД равен 70 градусов. Найдите градусную меру угла АВД.

Предварительный просмотр:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания:

Обратно (признак касательной): если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Свойство касательных к окружности

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральный угол и градусная мера длины окружности

∠ АОВ – центральный угол (вершина в центре окружности);

∪ АВ = ∠ АОВ (дуга меньше полуокружности)

∪ АМВ = 360 ° - ∠ АОВ (дуга больше полуокружности)

∠ АМВ – вписанный угол (вершина лежит на окружности);

∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ 4 = ∠ 5 = …. = ∪ АВ.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанные углы, опирающиеся на полуокружность – прямые.

Свойство отрезков пересекающихся хорд

Свойства биссектрисы угла

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка.

Четыре замечательные точки треугольника

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины;

2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны.

Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны.

Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что КМД= РЕД.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 43 , острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 86 . Найдите площадь треугольника.

Длины двух сторон прямоугольника относятся как 8:15 , а его периметр равен 230. Найдите диагональ прямоугольника.

Предварительный просмотр:

БИЛЕТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс

Треугольник. Виды треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Медиана .Биссектриса. Высота.

Треугольник. Виды треугольников. Свойства и признаки прямоугольного треугольника.

Треугольник. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами треугольника.

Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Определение параллельных прямых. Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых.

Параллелограмм. Определение. Свойства. Признаки.

Трапеция. Определение. Теорема Фалеса. Виды трапеций.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Свойства. Признаки.

Площади геометрических фигур.

Подобные треугольники. Определение. Признаки подобия треугольников.

Теорема Пифагора. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства и признак касательной. Центральные и вписанные углы. Вписанная и описанная окружности.

Предварительный просмотр:

Основания трапеции относятся как 1:11, а средняя линия равна 48. Найдите большее основание трапеции.

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:13 . Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 124градуса , АС=ВС . Найдите градусную меру угла С.

Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС относятся как 9:12 соответственно. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 45.

В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 17 , основание АС равно 16 . Найдите тангенс угла А.

Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол . Ответ дайте в градусах.

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2 . Найдите площадь треугольника.

Градусные меры углов треугольника относятся как 3:5:7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника.

В прямоугольнике одна сторона равна 13 , периметр равен 62 . Найдите площадь прямоугольника.

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, АС=10 , синус угла А равен 12:13 .Найдите сторону ВС.

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна . Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54 . Найдите площадь прямоугольника

В треугольнике АВС : угол С равен 90 градусов , АВ =25 , тангенс угла А равен 0,75. Найдите сторону АС.

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 17:73. Ответ дайте в градусах.

Сторона ромба равна 90 , а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба

В треугольнике АВС : угол С равен 90 градусов , ВС=2√6, АВ=2√30 .Найдите тангенс угла А.

Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:9:10:16 . Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС: угол С равен 90 градусов, ВС =1 , АС=√15 . Найдите косинус угла В.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АД, АВ равна 4 см , АС=8 см,ВС=6 см. Найти ВД, СД.

Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что КМД= РЕД.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Анализ выполнения письменного экзамена по геометрии выпускниками 9 классов школы №147 города Челябинска за 2011-2012 учебный год

Предлагается анализ письменнлого экзамена по геометрии в 9 классах школы №147 за 2011-2012 учебный год.

Билеты переводного экзамена по геометрии 7 класс

Теоретические вопросы к билетам по геометрии для 7 класса на 2012-2013 учебный год.

Контрольно-измерительные материалы переводного экзамена по физике в 8 классе в форме ГИА

Экзаменационные материалы для переводного экзамена по физике в 8 классе предназначены для контроля обученности учащихся за год, подготавливают учащихся к сдаче ГИА по физике в выпускных классах. .

Экзаменационные билеты для проведения устного экзамена по геометрии 8 класс по учебнику Атанасяна. Билеты для переводного экзамена по геометрии 8 класса

Материал для переводного экзамена по геометрии 8 класса.

Задачи для устного экзамена за 10 класс по геометрии

Подборка задач, входящих в билеты устного экзамена по геометрии за 10 класс охватывает все темы, изученные в 10 классе.

Материалы переводного экзамена по математике в 7 классе

Экзаменнационные задания в четырех вариантах. Каждый вариант состоит из 9 заданий, два из которых по геометрии. Работа расчитана на академический час.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎