Показательная функция – свойства, графики, формулы

Обобщение выполняется следующим образом. При натуральном x = 1, 2, 3. , показательная функция является произведением x множителей: . При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности: , где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : . При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ( ) : (1.1) определена и непрерывна, при , для всех ; (1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ; (1.3) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ; (1.4) при ; при ; (1.5) ; (1.6) ; (1.7) ; (1.8) ; (1.9) ; (1.10) ; (1.11) , .

Другие полезные формулы. . Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени: При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Графики показательной функции

На рисунке представлены графики показательной функции y ( x ) = a x для четырех значений основания степени: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

y = a x , a > 1 y = a x , 0 < a < 1 Область определения – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞ Область значений 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞ Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает Нули, y = 0 нет нет Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1 y = 1 + ∞ 0 0 + ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов и формулу из таблицы производных: .

Пусть задана показательная функция: . Приводим ее к основанию e : Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную Тогда Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ): . Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна . По правилу дифференцирования сложной функции: .

Найти производную функции y = 3 5 x

Выразим основание показательной функции через число e . 3 = e ln 3 Тогда . Вводим переменную . Тогда Из таблицы производных находим: . Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна: . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: f ( z ) = a z где z = x + iy ; i 2 = – 1 . Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ : a = r e i φ Тогда . Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде φ = φ 0 + 2 πn , где n – целое. Поэтому функция f ( z ) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение .

Разложение в ряд

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.