Применение интерполяции для решения уравнений

В настоящем исследовании будут рассмотрены методы решения уравнения f(x) = 0 с помощью применения интерполяции. Мы выясним, есть ли преимущества при замене исходной функции на интерполяционную функцию, и какова точность нахождения корня при переходе к решению интерполяционного уравнения.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x), и необходимо решить уравнение f(x) = 0 на этом отрезке. Известно много различных способов нахождения корней уравнения, но мы поступим следующим образом: будем приближать исходную функцию f(x) другой функцией g(x) и искать корни именно интерполированной (в англоязычной аббревиатуре - Interpolation) функции g(x).

Рассмотрим следующие методы интерполяции:

• Интерполяция каноническим полиномом
• Интерполяция полиномами Лагранжа
• Интерполяция степенными рядами
• Интерполяция кубическими сплайнами
• Тригонометрическая интерполяция

Сравнение методов

Сравним методы интерполяции функций и выясним, какой из них лучше использовать для нахождения корней уравнения f(x) = 0 в конкретном случае. В конечном итоге предстоит определить, насколько точно корни уравнения g(x) = 0 приближают корни уравнения f(x) = 0.

Рассмотрим в качестве функции f(x) = sin(x) на [1,8], а в качестве интерполирующей функции g(x) – полином, имеющий следующий вид:

В качестве узлов интерполяции выберем точки на отрезке [1,8] по алгоритму Чебышева. При выборе 8 узлов получается наименьшая ошибка интерполяции (она равна 0.0124).

График синуса (показан синим цветом) и интерполирующей функции (показан красным цветом) в этом случае выглядит так:

Корни полинома g(x) = 0 будем искать, например, методом Гаусса. Ошибка при нахождении поиске складывается из ошибки интерполяции и ошибки решения уравнения.

Погрешность интерполяции: Сложность метода Гаусса: O(2n/3).

Рассмотрим в качестве f(x) ту же функцию sin(x), но на этот раз на отрезке [-3,3], а в качестве интерполирующей функции g(x) рассмотрим полином: где - полиномы степени n вида

В качестве узлов интерполяции снова по алгоритму Чебышева выберем точки на отрезке [-3, 3].

График синуса (показан красным цветом) и интерполирующей функции (показан зелёным цветом) в этом случае выглядит так:

Уравнение Лагранжа g(x) = 0 решается проще, чем f(x) = 0. При этом ошибка приближения: 0.0944, погрешность интерполяции:

Ошибка нахождения корней снова складывается из ошибки интерполяции и ошибки решения уравнения Лагранжа.

В качестве f(x) снова рассматриваем sin(x) на [-1, 1], g(x) в данном случае имеет следующий вид:

Графики показаны на следующем рисунке:

Ошибка приближения в этом случае больше, поэтому данный метод интерполяции менее предпочтителен для поиска корней, погрешность интерполяции:

f(x) = sin(x) на [-1, 1]. g(x) - сплайн-интерполяция синуса, функцию f(x) пытаемся представить в виде некоторых элементарных функций: где — фиксированный линейно независимые функции, — не определённые пока коэффициенты.

При выборе шага h = 0.25 интерполяция выглядит так:

Ошибка интерполяции оценивается как

На этот раз разложим функцию f(x) (считаем её непрерывно-дифференцируемой) в ряд Фурье: , где

Для её приближения будем использовать тригонометрический полином следующего вида:

Тогда приближение функции f(x) функцией g(x) будет выглядеть примерно следующим образом:

Поиск корней тригонометрической функции осуществляется итерационным методом. Анализ данного метода будет дан ниже.

Анализ методов

При решении уравнения f(x) = 0 вместо поиска корней исходной функции f(x) мы переходили к интерполирующей функции g(x) и искали её корни. Но какой же метод аппроксимации лучше для поиска корней?

Однозначного ответа на данный вопрос быть не может - это зависит от функции f(x). С одной стороны, надо использовать тот метод, который лучше приближает исходную функцию f(x). С другой стороны, мы должны достаточно точно отыскать корни g(x).

Например, если сравнивать интерполяцию каноническим полиномом и полиномами Лагранжа, то лучше использовать второй метод, ибо он наиболее точно и с меньшими затратами приближает требуемую функцию, а сложность решения уравнения g(x) = 0 у них одинакова.

А интерполяцию кубическими сплайнами рационально применять, если f(x) - периодическая или тригонометрическая функция. В случае приближения сплайнами, например, кусочно-линейной функции возникает следующий эффект:

Понятно, что ни о какой точности решения уравнения g(x) = 0 говорить не приходится.

Вывод

Были рассмотрены следующие методы интерполяции исходной функции для решения уравнения f(x) = 0:

• Интерполяция каноническим полиномом
• Интерполяция полиномами Лагранжа
• Интерполяция степенными рядами
• Интерполяция кубическими сплайнами
• Тригонометрическая интерполяция

Установлено, что точность решения интерполяционного уравнения зависит от вида функции f(x). В результате чего в качестве рекомендации предлагается следующее: