Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной.

• Решаем полученное уравнение с одной неизвестной.

• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

1. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.

Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

Ответ:

Решить систему уравнений:

Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

Ответ:

Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

1. Решить систему уравнений:

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

Ответ:

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

Для таких систем удобно использовать замену

Решить систему уравнений:

При замене приходим к следующей системе

которую будем решать способом подстановки:

Производим обратную замену:

Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными будем называть уравнение вида

1. Решить систему уравнений:

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

Первое уравнение системы – квадратное относительно .

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

Ответ:

1. Решите графически систему уравнений:

Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ:

2. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом . Вторая строка системы задает прямую .

Находим координаты точек пересечения графиков:

Ответ:

3. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .

Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

Решите системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Решите графически системы уравнений:

9.

10.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

• Тест. Физический смысл производной
• Формула длины биссектрисы через длины сторон треугольника
• Реальный ЕГЭ от 7 июня 2021. Основная волна. Вариант 3
• Площадь ортогональной проекции многоугольника
• Первообразная. Интеграл
• Задание №16. Досрочный ЕГЭ 2018

В “Системы уравнений, сводящихся к линейным” неверно обозначена замена для m . В числителе нужно поставить 1(а у Вас 4)

Светлана, спасибо большое! Конечно. Опечатка исправлена.

“Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки” По-моему, ошибка. У меня ответы (8;1) и (-8;-3)

Здравствуйте! Прошу подскажите. Как правильно решить систему? Верно ли я понимаю, что она будет решаться подобно графическому методу первой задачи?

Log5X+Log5y=1 2^x+y-3=8 где, 5 – основание логарифма ^ – значок степени

Ответами будут: (5;1) и (1,5)

Максим, не заметила сразу ваш коммент… Если еще актуально… Мне не совсем понятно второе уравнение системы. Это точно выглядит так: ? Потому как, – ваши решения не удовлетворяют второму уравнению.Быть может, где-то скобочки должны стоять.

(x+y-3) степенное выражение

Ну вот… Ответы верные. Но совсем не обязательно решать графически. Из второго уравнения выражаете одну из переменных, например, подставляете в первое уравнение: ( ). Квадратное уравнение -> корни…

Проверьте, пожалуйста, в 4 упражнении. У меня получилось (1;-2) (-5;-5)

Ответы на сайте указаны верно. Вы можете подстановкой своей пары (1;-2) в систему убедиться в том, что пара не даёт верных равенств)