Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)

Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:

где Z –модуль комплексного сопротивления, φ=ψu - ψi – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления; R - активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z=(R 2 +X 2 ) 1/2 , а φz(ω)=ψu-ψi =arctg(X/R).

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи: Z=R – активное (резистивное) сопротивление; Z=R+jX — активно-индуктивное сопротивление; Z=R – j X — активно-емкостное

- комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б ) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е.х(t) =Xm cos(0t – x) Xm =Xm e – j  x .

2 ) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождениюкомплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е.Ym = Ym e – j  y .

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y m=Ym e – j  y  y(t) =Ym cos(0t – y).

Пример 5. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, структура которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны:Um=1 В, ω =1 с -1 , φ u=90 0 , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Представим воздействие в комплексной форме:

Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L-элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135 0 , значит, во временной области это напряжение можно записать так:

Пример 2.

Активное сопротивление катушки Rк=6 Ом, индуктивное Xl=10 Ом. Последовательно с катушкой включено ативное сопротивление R=2Ом и конденсатор сопротивлением хс=4 Ом (рис.2,а). К цепи приложено напряжение U=50В ( действующее значение). Определить :1) полное сопротивление цепи;2)ток;3)коэффициент мощности;4)активную, реактивную и полную мощности;5) напряжения на каждом сопротивлении. Начертите в масштабе векторную диаграмму цепи.

Решение:

1.Определяем полное сопротивление цепи

3.Определяем коэффициент мощности цепи

по таблицам Брадиса находим =36 0 50’ . Угол сдвига фаз  находим по синусу во избежание потери знака угла ( косинус является четной функцией)

4.Определяем активную мощность цепи

5.Определяем реактивную мощность цепи

6.Определяем активную мощность цепи

7.Определяем падение напряжения на сопротивлениях цепи

Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для тока и напряжения. Задаемся масштабом по току : в 1см – 1,0А и масштабом по напряжению : 1см- 10В. Построение векторной диаграмм ( рис.2,.б) начинаем с вектора тока, который откладываем по горизонтали в масштабе

Вдоль вектора тока откладываем векторы падения напряжения на активных сопротивления URк и UR:

Из конца вектора UR откладываем в сторону опережения вектора тока на 90 0 вектор падения напряжения UL на индуктивном сопротивлении длиной .Из конца вектораUI откладываем в сторону отставания от вектора тока на 90 0 вектор падения напряжения на конденсаторе UC длиной . Геометрическая сумма векторовURк, UR, UL и UC равна полному напряжению U, приложенному к цепи .

Пример 3.

На рис. 3,а задана векторная диаграмма для неразветвленной цепи, ток I и падения напряжений на каждом сопротивлении ( U1, U2 и т.д.) Определить характер и величину каждого сопротивления, начертить эквивалентную схему цепи, вычислить приложенное напряжение и угол сдвига фаз .

Решение:

1.Из векторной диаграммы следует, что напряжение U1 отстает от тока на угол 90 0 . Следовательно, на первом участке включен конденсатор, сопротивление которого

Вектор напряжение на втором участке U2 направлен параллельно вектору тока, т.е. совпадает с ним по фазе. Значит, на втором участке включено активное сопротивление

Вектор напряжения на третьем участке U3 опережает вектор тока на угол 90 0 , что характерно для индуктивности, сопротивление которой

На четвертом участке включено активное сопротивление

Эквивалентная схема цепи приведена на рис. 3, б.

2.Из векторной диаграммы определяем значение приложенного напряжения и угол сдвига фаз:

К электрической цепи, рис. 3.12, а, подведено синусоидальное напряжение частотой f = 50 Гц с действующим значением U = 100 В. Параметры элементов схемы: R1 = 30 Ом, L = 0,1 Гн, C = 50 мкФ, R2 = 20 Ом. Определить токи в ветвях схемы и показания приборов. Составить баланс мощности. Построить в масштабе векторную диаграмму токов и напряжения.

Рис. 3.12 – Параллельная цепь: а) схема замещения; б) векторная диаграмма

Определяем комплексные сопротивления параллельных ветвей. Сопротивление первой ветви

XL = jωL = 2πfL = 6,28∙50∙0,1 = 31,4 Ом;

Комплексное сопротивление второй ветви

Находим комплексные значения токов в ветвях

I = I1 + I2 = 1,6 – j1,64 + 0,45 + j1,43 = 2,05 – j0,21 A.

Для определения показания вольтметра составляем уравнение согласно второго закона Кирхгофа для контура б, в, г, д, б. Произвольно выбираем направление обходе контура, показанное на рис. 3.12, а стрелкой

= 9 + j28,6 – 48 + j49,2 = - 39 + j77,8;

Вольтметр покажет действующее значение напряжения Uбв

Ваттметр измеряет мощность, потребляемую активной нагрузкой (R1 и R2).

Р = U·I·cosφ.

В этом выражении неизвестным является cosφ, где φ угол сдвига между напряжением U и током I. Определить угол φ (или cosφ) можно разными путями. Например, cosφ можно найти из выражения для общего тока, учитывая, что начальная фаза напряжения равна нулю. Для этого обратимся к комплексному значению общего тока

I = 2,05 – j0,21 A,

где IR = 2,05 – активная составляющая тока (проекция комплексного вектора полного тока на ось действительных чисел);

IX = - j0,21 – реактивная составляющая тока (проекция комплексного вектора полного тока на ось мнимых чисел).

где I = 2,06 А – действующее значение общего тока.

Р = 100∙2,06∙0,995 = 205 Вт.

Составим баланс мощностей.

Полная мощность, поступающая от источника

где PИ = 205 Вт; QИ = 21 Вар.

SП = РП + jQП = 205 + j21,34 ВА.

Результаты расчётов показывают, что баланс мощности сходится, т. е. токи найдены правильно.

Векторную диаграмму строим на комплексной плоскости, рис. 3.12, б. Выбираем масштабы тока и напряжения: (Масштаб выбирается с таким расчётом, чтобы векторная диаграмма занимала примерно половину страницы). Откладываем вектор напряжения совпадающий с осью+1. Затем откладываем вычисленные значения токов I1, I2, I. Действительные значения – на оси +1, мнимые значения – на оси +j.

Контрольные вопросы к экзамену (зачету)

Контрольные вопросы к зачету (экзамену ) по разделу "Основы электротехники".

1. Электробезопасность. Характеристики поражения человека электрическим током.

2. Основные определения: электротехника, электричество, электрическое поле, потенциал, напряжение, электрический ток, источники тока , электродвижущая сила (ЭДС), закон Ома , законы Кирхгофа.

3. Электрическая цепь. Пассивные и активные элементы цепи. Параметры электрической цепи.

4. Расчет электрических цепей постоянного тока методом законов Кирхгофа, методом контурных токов.

5. Энергия и мощность постоянного тока. Баланс мощностей.

6. Переменный ток. Однофазный синусоидальный ток. Основные параметры: мгновенные, действующие и средние значения тока, напряжения и ЭДС. Генерирование переменного тока.

7. Представление переменного тока комплексными величинами. Метод комплексных диаграмм.

8. Метод комплексных амплитуд. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме.

9. Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи переменного тока.

10. Последовательная и разветвленные цепи переменного тока с активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью. Резонанс тока. Резонанс напряжения.

11.Мощность и энергия в цепи переменного тока. Активная, реактивная и полная мощность. Единицы измерения. Баланс мощностей.

12.Трехфазные электрические цепи. Основные определения. Линейные и фазные токи и напряжения. Маркировка фазы. Способы соединения генераторов и приемников типа звезда и треугольник. Трехпроводные и четырехпроводные цепи. Нейтральный провод.

13. Короткое замыкание фазы. Разрыв линейного провода. Мощность в цепи трехфазного тока.

14. Нелинейные электрические цепи. Аппроксимация нелинейных характеристик.

15. Расчет цепей постоянного тока с одним или несколькими нелинейными элементами.

16. Основные магнитные величины. Магнитные цепи постоянного тока.

17. Магнитные цепи переменного тока. Ферромагнитные материалы.

18. Расчет катушки с магнитопроводом и воздушным зазором.

19. Энергия и основные потери в магнитопроводе.

20 Трансформатор. Основные режимы работы.

21. Устройство и принцип действия машин постоянного тока.

22. Генератор постоянного тока. Основные характеристики.

23.Двигатель постоянного тока. Основные характеристики.

24.Устройство и принцип действия машины переменного тока.

25. Асинхронный двигатель. Основные характеристики.

26. Синхронный генератор. Основные характеристики.

Темы рефератов.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Самостоятельная работа студентов состоит в изучении ряда теоретических вопросов по темам дисциплины, перечень которых приведен в таблице 5 и составления рефератов..