"Динамическая геометрия" – экспериментальный курс геометрии с использованием ИКТ. 7-й класс
Целью проекта стало создание и исследование динамических моделей в мультимедийной среде “Живая математика”.
- Проект охватывает большой спектр заданий по начальным темам курса геометрии 7 класса (в соответствии с учебной программой). В нем представлены как базовые учебные задачи, так и исследовательские, выводящие за рамки учебника
- Проект обладает ярким интерфейсом, позволяющим акцентировать внимание на наиболее важных моментах исследования
- Традиционный анализ и исследования геометрических построений в программе “Живая математика” приобретает большую актуальность, но при этом проводится значительно быстрее, что позволяет охватить более широкий круг исследовательских задач.
- Отличительной чертой проекта является иллюстрация нового подхода в изучении геометрии: от создания динамических моделей и их исследования к выдвижению и доказательству (или опровержению) гипотез.
1. Начальные геометрические сведения
Первая глава в учебнике геометрии называется "Начальные геометрические сведения" Приступая к изучению нового для нас предмета, мы уже имели некоторое представление о геометрических фигурах, но сейчас нам предстояло увидеть их в связи друг с другом, изучить их свойства и признаки, научиться выдвигать гипотезы и доказывать их.
В своем проекте мы хотим познакомить вас с некоторыми выводами, которые мы смогли сделать, наблюдая геометрические фигуры в движении.
Исследование №1. В одной из первых динамических моделей, которую мы исследовали на уроках динамической геометрии, была дана окружность с двенадцатью равномерно расположенными на ней точками.
Мы построили 12 отрезков, поочередно соединяющих эти точки. Затем мы построили шесть синих лучей, соединяя точки через одну, и шесть красных прямых, задаваемых остальными точками. И исследуя фигуры в динамике, мы выдвинули гипотезы об углах образованных отрезками, лучами и прямыми: При меняющихся радиусах окружности углы остаются неизменными.
Аналогичные наблюдения мы провели и при другом соединении двенадцати точек, соединяя каждую четвертую из них, что позволило выдвинуть гипотезу: “В построенных треугольниках стороны равны между собой, но меняются при изменении радиуса окружности; а углы равны и не изменяются”.
В исследовании №2 рассматривается вопрос о трех точках на прямой, расположенных так, что АВ = 4 см, ВС = 7 см. Предлагается найти длину отрезка АС. “Живая Математика” позволила достаточно легко найти два возможных решения задачи, и соответственно два ответа: в первом случае итоговый отрезок находится как сумма данных отрезков, а во втором - как разность.
Аналогичный вопрос о градусной мере угла ABD при заданных значениях углов ABC и СBD привел к обобщению решения задачи об отрезках. Здесь так же получились два возможных ответа, полученных как сумма и как разность заданных значений.
- Если менять длину отрезка АВ, то длина отрезка MN меняется, но при этом отрезок АВ всегда больше отрезка MN в два раза.
- При любом положении точки C на отрезке АВ длина отрезка MN не изменяется.
2. Параллельные прямые
Интересными оказались исследования динамических моделей в теме “Параллельные прямые”.
В исследовании №4 нам даны две параллельные прямые и две точки, расположенные между ними. С помощью динамических измерений нам удалось найти зависимость между углами на рисунке 6 и выдвинуть гипотезу о том, что попарные суммы измеренных углов равны.
Для доказательства данного факта мы выполнили дополнительные построения: провели параллельные прямые и увидели равные накрест лежащие углы (на рисунке 7 они выделены одинаковым цветом). Используя знания, полученные на уроках Татьяны Андреевны, мы смогли доказать замеченное нами свойство.
Последующее исследование данной динамической модели заключалось в изменении положения точек О и Т по отношению к прямым и друг к другу. И здесь мы доказали ряд фактов, о которых в учебнике упоминания нет.
В данном проекте мы предлагаем только те исследования, динамические модели к которым мы делали самостоятельно.
Оказывается, в формулировках задач не бывает лишних слов. Надо внимательно вчитываться в условие, чтобы понять суть конкретной задачи.
Задача исследования №5 сформулирована в одиннадцать слов: “Как располагается биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию”. Тем не менее, эта задача предполагает пятишаговую цепочку действий (см. рис. 8).
Наблюдая за моделью в динамике, мы смогли выдвинуть доказать гипотезу о том, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника всегда параллельна его основанию.
Продолжение исследования свойств треугольника мы покажем на примере следующей динамической модели к задаче: “Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Каково взаимное расположение прямых MD и АВ?”
Гипотезу о параллельности прямых АВ и DM нам также удалось доказать (см. рис. 9).
Центральное место в геометрии 7 класса занимают свойства и признаки параллельных прямых. В исследовании №6 нам удалось заметить и доказать интересные свойства о положении биссектрис углов, полученных при пересечении параллельных прямых секущей: биссектрисы односторонних углов всегда перпендикулярны, а биссектрисы накрест лежащих углов всегда параллельны (см. рис. 10а и 10б).
Рисунок 10 а, 10 б
3. Равенство треугольников
В исследовании №7 мы рассмотрели равные треугольники.
Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении. Значит, чтобы убедиться в равенстве треугольников, следует провести измерения всех сторон и всех углов. При этом, чтобы доказать “неравенство треугольников”, достаточно порой одного измерения, и здесь нужна смекалка, чтобы не делая лишних действий найти верный ответ.
Затем мы познакомились с утверждениями, которые позволили делать выводы, не выполняя большого количества измерений. Эти утверждения называются ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. В учебнике их всего три. Рассматривать каждую пару треугольников стало легче, зато сами задачи стали сложнее. Например, на рисунке 12 показано решение задачи, состоящей из трех шагов.
Если в теоремах “Признаки равенства треугольников” не учесть какого-либо условия, то теоремы окажутся неверны. Нам удалось построить примеры неравных треугольников (см. рис. 13а, 13б и 13в).
Рисунок 13а, 13б, 13в
4. Особые отрезки в треугольнике
Задачи на построение в геометрии требуют терпения и аккуратности.
Например, чтобы построить биссектрису угла Q в синем треугольнике QRS требуется выполнить такую цепочку построений из 6 шагов. Верность построения можно проиллюстрировать движением точек. Аналогично строится высота на примере оранжевого треугольника VUT и медиана в зеленом треугольнике XYZ. (см. рис. 14а, 14б и 14в)
Рисунок 14а, 14б, 14в
- Если все углы в треугольнике острые, то высота находиться внутри.
- Если угол С прямой, то высота совпадает со стороной BC.
- Если угол С тупой, то высота будет лежать вне треугольника.
- Биссектриса всегда находится между высотой и медианой.
- Высота всегда будет самой маленькой, а медиана самой большой.
- Медиана, высота и биссектриса будут совпадать, если они проведены из точки противоположной основанию равнобедренного треугольника.
Эти гипотезы пока остались недоказанными
Зато в исследовании №9 нам удалось доказать гипотезу о том, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, отсекает от сторон угла равнобедренный треугольник.
5. Возвращаясь к истокам
Возвращаясь к рассмотрению самых основных фигур в геометрии, приходится согласиться с тем, что простые на первый взгляд задачи, порой содержат совсем нетривиальные решения.
- Очевидной кажется гипотеза, что прямых будет 3
- Но системно перебирая точки, кажется, что верный ответ 6,
- Однако, если учесть, что три из перечисленных прямых являются разными именами одной и той же прямой, то мы увидим правильный ответ 4
Через 4 точки были проведены 4 прямые. А далее мы исследовали вопрос о количестве общих точек для 4 прямых и смогли привести примеры для 1, 3, 4, 5 и 6 общих точек.
Но опытным путем нам не удалось построить для 2, 7 и более точек пересечения четырех прямых. А значит, не все задачи нами решены и впереди еще много открытий.
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов
В данном проекте представлены модели по основным темам курса геометрии 7 класса, кроме темы “задачи на построение”, которая в настоящее время разрабатывается нами в отдельном проекте.
В ходе создания динамических моделей мы смогли выдвинуть ряд гипотез, большинство из которых были доказаны на уроках геометрии, но значительно позднее.