Исследование функций с помощью производных.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Возрастание и убывание функции. Экстремум.

Функция $y=f(x)$ называется возрастающей (убывающей) в интервале $(a, b)$ если из неравенства $x_1<x_2,$ где $x_1,\, x_2\in (a, b),$ следует неравенство $f(x_1)<f(x_2)$ (соответственно $f(x_1)>f(x_2)$).

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$ и $f'(x)>0$ при всех $x\in(a, b),$ то функция $f(x)$ возрастает на $(a, b);$ если же $f'(x)<0$ при всех $x\in(a, b)$ то $f(x)$ убывает на этом интервале.

В простейших случаях область определения функции $y=f(x)$ можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками в которых $f'(x)=0$ или $f'(x)$ не существует.

Если существует такая окрестность $U_0(x_0)$ точки $x_0,$ что для всякой точки $x\neq x_0$ этой окрестности выполняется неравенство $f(x)>f(x_0)$ (или $f(x)<f(x_0)$) то точка $x_0$ называется точкой минимума (максимума) функции $y=f(x),$ а число $f(x_0)$ - минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Необходимое условие экстремума.

Если $x_0 -$ точка экстремума функции $f(x),$ то $f'(x_0)=0$ или $f'(x_0)$ не существует т.е. $x_0$ критическая точка этой функции.

Достаточные условия экстремума непрерывной функции.

1) Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности $(x_0-\delta,\,\, x_0+\delta)$ критической точки $x_0,$ за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах $(x_0-\delta,\, x_0)$ и $(x_0,\, x_0+\delta)$ производная $f'(x)$ имеет противоположные знаки, то $x_0 -$ точка экстремума, причем, если $f'(x)>0$ при $x\in(x_0-\delta, x_0)$ и $f'(x)<0$ при $x\in(x_0, x_0+\delta)$, то $x_0 -$ точка максимума, а если $f'(x)<0$ при $x\in(x_0-\delta, x_0)$ и $f'(x)>0$ при $x\in(x_0,\, x_0+\delta),$ то $x_0 -$ точка минимума. Если же $f'(x)$ при $x\in(x_0-\delta, x_0+\delta),$ $x\neq x_0,$ сохраняет знак, то точка $x_0$ не является точкой экстремума.

2) Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в критической точке $x_0$ и в некоторой ее окрестности. Если $f''(x_0)<0,$ то $x_0 -$ точка максимума функции $f(x),$ если $f''(x_0)>0,$ то $x_0$ точка минимума. Если же $f''(x_0)=0,$ то требуются дополнительные исследования.

На ибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции $f(x)$ на данном отрезке $[a, b]$ достигается или в критических точках или на концах отрезка.

Примеры:

Для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.

5.404. $y=x\sqrt$

Решение.

Найдем область допустимых значений функции:

$1-x^2\geq 0\Rightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x\in[-1, 1]$

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, вычислим ее производную и найдем интервалы на которых она знакопостоянна.

$$y'=0\Leftrightarrow \frac=0\Leftrightarrow 1-2x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x_1=\frac;\,\, x_2=-\frac.$$

$$y'<0\Leftrightarrow \frac<0\Rightarrow 1-2x^2<0\Rightarrow x^2>\frac\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x\in(-\infty; -\frac)\cup (\frac,\infty).$$

Учитывая ОДЗ $y'<0\Leftrightarrow x\in[-1,-\frac)\cup(\frac, 1]. $

В точке $x_1=-\frac$ производная $y'$ меняет знак с $"-"$ на $"+",$ следовательно, в этой точке функция имеет минимум. $$y_\left(-\frac\right)=-\frac\sqrt=-\frac.$$ В точке $x_2=\frac$ производная $y'$ меняет знак с $"+"$ на $"-",$ следовательно, в этой точке функция имеет максимум. $$y_\left(\frac\right)=\frac\sqrt=\frac.$$

5.407.$y=x-2\sin x.$

Решение.

Найдем область допустимых значений функции:

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, вычислим ее производную и найдем интервалы на которых она знакопостоянна.

$$y'=0\Rightarrow 1-2\cos x=0\Rightarrow \cos x=\frac\Rightarrow x=\pm\frac+2\pi k,\,k\in Z.$$

$$y'>0\Rightarrow 1-2\cos x>0\Rightarrow \cos x<\frac\Rightarrow $$ $$\Rightarrow x\in(\frac+2\pi k,\, \frac+ 2\pi k)\,k\in Z.$$

$$y'<0\Rightarrow 1-2\cos x<0\Rightarrow \cos x>\frac\Rightarrow $$ $$\Rightarrow x\in(-\frac+2\pi k,\, \frac+ 2\pi k)\,k\in Z.$$

В точках $x=\frac+2\pi k$ производная $y'$ меняет знак с $"-"$ на $"+",$ следовательно, в этих точках функция имеет минимум. $$y_\left(\frac+2\pi k\right)=\frac+2\pi k-2\frac.$$ В точках $x=-\frac+2\pi k$ производная $y'$ меняет знак с $"+"$ на $"-",$ следовательно, в этих точках функция имеет максимум. $$y_\left(-\frac+2\pi k\right)=-\frac+2\pi k+2\frac.$$

Ответ: На $x\in(-\frac+2\pi k,\, \frac+ 2\pi k)\,k\in Z$ функция убывает; на $x\in(\frac+2\pi k,\, \frac+ 2\pi k)\,k\in Z -$ возрастает; $y_\left(\frac+2\pi k\right)=\frac+2\pi k-\sqrt 3;$ $y_\left(-\frac+2\pi k\right)=-\frac+2\pi k+\sqrt 3.$

Определить наибольшее и наименьшее значения следующих функций на указанных отрезках.

5.413. $y=-3x^4+6x^2;\quad [-2,\, 2].$

Решение.

Найдем точки экстремума заданной функции на отрезке $[-2, 2]$ и значение функции на концах этого отрезка:

$$y'>0\Rightarrow y\in (-1, 0)\cup(1,\infty);$$

$$y'<0\Rightarrow y\in (\infty, -1)\cup(0,1).$$

Производная $y'$ меняет знак с $"+"$ на $"-"$ в точках $x_1=-1$ и $x_3=1;$ п роизводная $y'$ меняет знак с $"-"$ на $"+"$ в точке $x_2=0.$ Таким образом в точках $x_1=-1$ и $x_3=1$ функция имеет максимум, а в точке $x_2=0 -$ маинимум. Найдем значения функции во всех найденных точках экстремума и на концах заданного отрезка.

$y(-2)=-3\cdot 16+6\cdot 4=-24;$

$y(-1)=-3\cdot 1+6\cdot 1=3;$

$y(1)=-3\cdot 1+6\cdot 1=3;$

$y(2)=-3\cdot 16+6\cdot 4=-24.$

Выбирая наибольшее и наименьшее значение получаем ответ.

Ответ: $m=y_=-24;\,\, M=y_=3.$

5.415.$y=\frac;\quad [0, 4].$

Решение.

Запишем ОДЗ заданной функции:

$$x+1\neq 0\Rightarrow x\neq -1.$$

Найдем точки экстремума заданной функции на отрезке $[0, 4]$ и значение функции на концах этого отрезка:

Очевидно, $\frac> 0$ для всех $x\in[0, 4].$ Следовательно, на всем заданном отрезке $y'> 0.$

Таким образом на отрезке $[0, 4]$ функция $y(x)$ строго возрастает и, следовательно, точек экстремума не имеет. Найдем значения функции на концах заданного отрезка.

Выбирая наибольшее и наименьшее значение получаем ответ.

5.421. $e^x>1+x,\quad x\neq 0.$

Решение.

Исследем функцию $y(x)=e^x-1-x$ на монотонность:

То есть функция $y(x)=e^x-1-x$ возрастает при $x>0$ и убывает при $x<0.$ Таким образом $x=0$ это точка минимума. Поскольку в точке $x=0$ $y(0)=e^0-1-0=0,$ то для всех остальных значений $y(x)=e^x-1-x>0\,\Rightarrow\, e^x>1+x.$

Что и требовалось доказать.

5.424.$\sin x+tg x>2x,\quad x\in (0, \,\pi/2).$

Решение.

Исследем функцию $y(x)=\sin x+tg x-2x$ на монотонность:

То есть функция $y(x)=\sin x+tg x-2x$ возрастает на всей определения, в частности при $x\in(0, \pi/ 2).$ Поскольку в точке $x=0$ $y(0)=\sin 0+ tg 0-2\cdot 0=0,$ и при $x\in(0, \pi /2)$ функция непрерывна, то $y(x)=\sin x+tg x-2x>0\Rightarrow \sin x+tg x> 2x$ при $x\in(0, \pi/ 2).$

Что и требовалось доказать.

5.434. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса $r.$

Решение.

Пусть углы между диагоналями прямоугольника равны $2\varphi$ и $\pi-2\varphi$ $(\varphi\in(0, \pi/2)).$ Тогда длины сторон равны $r\sin\varphi$ и $r\cos\varphi.$ Соответственно, площадь прямоугольника равна $$S=S(\varphi)=r\sin\varphi\cdot r\cos\varphi=\fracr^2\sin 2\varphi.$$

Найдем наибольшую площадь как максимум функции $S(\varphi):$ $$S'(\varphi)=\fracr^2 2\cos 2\varphi=r^2\cos 2\varphi.$$ $$S'(\varphi)=0\Rightarrow r^2\cos 2\varphi=0\Rightarrow 2\varphi=\pi/2\Rightarrow \varphi=\pi/4.$$ При этом $$S'(\varphi)<0\Rightarrow r^2\cos 2\varphi<0\Rightarrow 2\varphi=\in(\pi/2; \pi)\Rightarrow \varphi\in(\pi/4;\pi/2)$$ $$S'(\varphi)>0\Rightarrow r^2\cos 2\varphi>\Rightarrow 2\varphi\in(0,\pi/2)\Rightarrow \varphi\in(0, \pi/4).$$