Презентация по геометрии 9 класс "Метод координат"

Дается определение прямоугольной системы координат. Определение координат точки. Рассматривается расстояние между двумя точками. Уравнение окружности. Выводится формула для вычисления координат середины отрезка. Рассматривается уравнение прямой. Показывается применение всех этих формул при решении задач.

Геометрия 9класс

• Координаты точки
• Расстояние между точками
• Уравнение окружности
• Координаты середины отрезка
• Уравнение прямой
• Заключение

Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат , если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат , а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат . Одна из осей координат называется осью абсцисс , а другая – осью ординат . Ось абсцисс обозначается Ox , а ось ординат – Oy .

Прямоугольная система координат:

• O – начало;
• Ox – ось абсцисс;
• Oy – ось ординат;
• Ox┴Oy
• на осях выбран масштаб (единичный отрезок)

Положительные

Отрицательные

Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O . Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью , а другой – отрицательной полуосью .

абсцисса

M (x; y)

ордината

Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x , y . Эта пара чисел называется координатами точки M . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой .

Пусть M 1 и M 2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x , y точки M определяются следующим образом:

• x = OM1 , если точка M1 принадлежит положительной полуоси; x = 0 , если M1 совпадает с точкой O ; x = – OM1 , если точка M1 принадлежит отрицательной полуоси; y = OM2 , если M2 принадлежит положительной полуоси; y = 0 , если M2 совпадает с точкой О ; y = – OM , если точка M2 принадлежит отрицательной полуоси.
• x = OM1 , если точка M1 принадлежит положительной полуоси;
• x = 0 , если M1 совпадает с точкой O ;
• x = – OM1 , если точка M1 принадлежит отрицательной полуоси;
• y = OM2 , если M2 принадлежит положительной полуоси;
• y = 0 , если M2 совпадает с точкой О ;
• y = – OM , если точка M2 принадлежит отрицательной полуоси.

M 2

M 1

Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината).

Если точка M лежит на оси Ox , то она имеет координаты (x; 0) , если M лежит на оси Oy , то ее координаты – (0; y) .

M (0; y)

M (x; 0)

Пусть ABCD – квадрат, длина стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты:

A (0; ); B ( ; 0); C (0; – ); D (– ; 0) .

Рис . 1

D (-1; 1)

A (1; 1)

Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты:

A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1) .

B (1; -1)

C (-1; -1)

Расстояние между точками

Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) . Тогда расстояние d ( A , B ) = AB между точками A и B можно найти по формуле

A (x 1 ; y 1 )

y 1

B ( x 2 ; y 2 )

y 2

x 1

x 2

Докажем формулу для случая, когда и , т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l 1 и l 2 , которые проходят через точки A , B соответственно и параллельны осям Oy , Ox . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC . Длины сторон AC и BC равны: AC = , BC = . Тогда по теореме

l 1

l 2

Заметим, что формула верна и для случаев:

а) х 1 = х 2 , y 1 y 2 (отрезок параллелен оси Oy , рисунок 1);

б) х 1 х 2 , у 1 = у 2 (отрезок параллелен оси Ox , рисунок 2);

в) х 1 = х 2 , у 1 = у 2 (точки A и B совпадают).

В случае а) d (A, B) = AB = .

В случае б) d (A, B) = AB = .

Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0 .

A ( x; y 1 )

B ( x 2 ; y )

y 1

A ( x 1 ; y )

y 2

x 1

x 2

B ( x; y 2 )

Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD , две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5) . Площадь квадрата равна квадрату длины стороны.

Следовательно, S ABCD = AB ² . Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

Таким образом, площадь квадрата S ABCD = AB = 18 кв. ед .

Рассмотрим вопрос об уравнении

Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры , если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре.

Составим уравнение окружности с центром в точке O ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .

Пусть точка M ( x; y ) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R . Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса:

( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = R 2 .

M ( x; y )

y 0

x 0

Пусть точка M 1 ( x 1 ; y 1 ) не принадлежит окружности, тогда СM 1 ≠ R , а значит, ( x – x 1 ) 2 + ( у – у 1 ) 2 ≠ R 2 , т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению

( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2 .

Таким образом, уравнение

( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2

есть уравнение окружности с центром в точке С ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .

Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид

x 2 + y 2 = R 2 .

Задача . Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A ( –6; 0 )

и B ( 6; 0 ) равна 104.

Решение.

1) Пусть M ( x; y ) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = 104 .

2) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем:

3) По условию задачи (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. После упрощения получаем x 2 + y 2 = 16.

Если точка M ( x; y ) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM 2 + BM 2 ≠ 104 , а значит, координаты точки M ( x; y ) не удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x 2 + y 2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка.

Пусть A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) – произвольные точки плоскости, а точка C ( x 0 ; y 0 ) – середина отрезка AB . Найдем координаты х 0 и y 0 .

Найдем координату x 0 .

1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy , т. е. x 1 ≠ x 2 . Проведем через точки A , B и C прямые, параллельные оси Oy , которые пересекают ось Ox в точках A 1 ( x 1 ; 0 ) , B 1 ( x 2 ; 0 ) и C 0 ( x 0 ; 0 ) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C 0 ( x 0 ; 0 ) – середина отрезка A 1 B 1 , т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 | . Отсюда следует, что либо x 0 – x 1 = x 0 – x 2 , либо x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ) . Так как x 1 ≠ x 2 , то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что

A 1

C 0

B 1

2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy , т. е. x 1 = x 2 . В этом случае все точки A 1 , B 1 , C 0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула

верна и в этом случае (рис. 1).

Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2 ), а соответствующая формула имеет вид