БГСХА / первый семестр / предел и непрерывность функции одной переменной

ны x . Если каждому значению величины x D соответствует одно определённое значение величины y , то говорят, что на множестве D задана функция y f ( x ), т.е. величина y есть функция величины x .

Величина x называется аргументом функции у , множество D –

областью определения функции . Так как значение величины x D

можно брать произвольно, а значение величины у зависит от выбранного значения х , то х называется независимой переменной , а у – зависимой переменной . Множество значений, принимаемых функцией

у , называется областью значений функции .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

Значение функции при

называется частным значением

функции в точке x 0 и обозначается

Пример 1.1 . Вычислить

значение функции y x 4 3 x 1 при

Решение . Частное значение данной функции в точке x 1 равно y ( 1) 4 3 ( 1) 1 5 .

Пример 1.2 . Вычислить значение функции

0 x 3, при а) х = –3; б) х =2; в) х =4.

Решение . а) Так как x 3 0 , то y 2 x 1. Поэтому частное значение функции равно y 2 ( 3) 1 7 .

б) x 2 [0,3). Поэтому y 5 x 2 3 и частное значение функции равно y 5 2 2 3 23 .

в) В данном случае x 4 3. Следовательно, у =1.

Пример 1.3 . Найти область определения функции y 5 . 1 x

Решение . Так как 1 x 0, т.е. x 1, то D ( y ) ( ,1) (1, ).

Пример 1.4 . Найти область определения функции y 4 x 2 . Решение . Выражение под знаком корня квадратного должно быть

неотрицательным, т.е. 4 x 2 0. Решим это неравенство методом интервалов: (2 x )(2 x ) 0 ,

Таким образом, D ( y ) [ 2,2].

Пример 1.5 . Найти область определения функции y

Решение . Для данной функции

этому D ( y ) ( ,2) (2,6] .

Пусть функция y f ( u )

функция u ( x ) – на множестве X < x >, причём все значения функ-

ции u U . Тогда переменная у является функцией от х : y f ( ( x )). В этом случае у называется сложной функцией , а переменная u –

промежуточным аргументом . Например, y sin u и u 3 x 4. То-

гда y sin(3 x 4) является сложной функцией.

Пусть функция y f ( x ) определена на

пусть G < y >– область значений функции. Это означает, что каждому значению x D ставится в соответствие единственное значение y G .

Если же каждому значению y G соответствует только одно значение

x D , то на множестве

G можно определить функцию

торая называется обратной по отношению к функции

этом случае функции y f ( x ) и

x ( y ) являются взаимообратны-

ми . Например, функции

и x log 3 y являются взаимообрат-

ными. Пусть дана функция y 3 x 4 . Тогда функция

обратной для данной, т.е. эти функции являются взаимообратными. При исследовании функций и построении графиков независимую

переменную обратной функции удобно обозначать через х , а зависимую переменную – через у . Тогда взаимообратными являются функ-

ратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой у = х .

Если независимая переменная х и функция у связаны соотношением F ( x , y )=0, которое не разрешено относительно у , то у называется неявной функцией от х . Примерами неявных функций являются x 2 y 2 9 0 , 3 x 4 y 5 y 3 0 , 2 x 4 y 5 0 .

1.2. Основные характеристики функции

Функция y f ( x ) называется возрастающей в интервале ( a , b ),

если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, т.е. если x 1 , x 2 ( a , b ) , то из x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) . Функция называется убывающей в интервале ( a , b ), если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции, т.е. если x 1 , x 2 ( a , b ) , то из x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) .

Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает, называется интервалом возрастания функции, а интервал, в котором функция убывает – интервалом убывания . Эти интервалы называются интервалами монотонности функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными . Например, функция

y x 3 определена в интервале ( , ) и возрастает в нём. Функция

y x 2 определена в интервале ( , ) , убывает в интервале

( ,0) и возрастает в интервале (0, ) .

Функция y f ( x ) называется чётной , если она удовлетворяет

условию f ( x ) f ( x ). Функция y f ( x ) называется нечётной , если

f ( x ) f ( x ). Функция, которая не является ни чётной, ни нечётной,

называется функцией общего вида .

График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а не-

чётной – относительно начала координат.

Пример 1.6 . Исследовать функцию

ность и нечётность.

f ( x ) 4( x ) 4 5( x ) 2 4 4 x 4 5 x 2

Функция f ( x ) является чётной.

Пример 1.7 . Исследовать функцию

f ( x ) 5 x 3 3 x

f ( x ) 5( x ) 3 3( x ) 5 x 3 3 x (5 x 3

Функция f ( x ) является нечётной.

Пример 1.8 . Исследовать функцию f ( x ) x 2 3 x 4 на чётность

f ( x ) ( x ) 2 3( x ) 4 x 2 3 x 4 f ( x ) f ( x ) .

Функция f ( x ) является функцией общего вида.

y f ( x ) называется периодической ,

такое число Т , что f ( x T ) f ( x ) . Наименьшее из таких положитель-

называется периодом функции. Например, функции

y cos x являются периодическими с периодом

функции y tgx и y ctgx периодическими с периодом .

1.3. Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y f ( x ) при x x 0 , ес-

ли для всех значений х , достаточно близких к x 0 , соответствующие

значения функции как угодно мало отличаются от числа А . Записывается это следующим образом:

lim f ( x ) A или f ( x ) A при x x 0 .

В определении предела x 0 может быть любым конечным числом или же обозначать и .

При вычислении пределов пользуются следующими правилами: 1) предел постоянной величины равен самой величине, т.е.

2) предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций при условии, что пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

lim ( f ( x ) g ( x )) lim f ( x ) lim g ( x ) ;

x x 0 x x 0 x x 0

3) предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов при условии, что эти пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

lim ( f ( x ) g ( x ))

lim f ( x ) lim g ( x ) ;

если n – натуральное число, то

lim ( f ( x )) n lim f

постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

lim ( k f ( x )) k lim

предел отношения двух функций равен отношению их преде-

лов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

, если lim g ( x ) 0 .

При вычислении пределов функции иногда приходится пользоваться понятием односторонних пределов. Пусть функция y f ( x )

определена на множестве D < x >и пусть x x 0 .

Будем рассматривать такие значения х , что x x 0 . Это означает,

что x x 0 , оставаясь всё время слева от x 0 . Если при этом существу-

ет предел функции

x x 0 , то он называется левым пре-

делом этой функции в точке

x 0 или при x x 0 и обозначается

x x 0 , оставаясь всё время справа от x 0 , т.е. оста-

больше x 0 . Если при

этом существует предел функции

y f ( x ), то он называется правым пределом этой функции в точке x 0

или при x x 0 и обозначается f ( x ) f ( x 0 0) .

Левый и правый пределы называются односторонними предела-

ми функции в точке. Если односторонние пределы функции y f ( x )в

точке x 0 существуют и равны между собой, то функция имеет тот же

предел в этой точке: lim

Если односторонние пределы функции в точке x 0 существуют,

но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

Пример 1.9 . Найти предел функции

Решение . Найдём односторонние пределы функции в точке х =2.

lim (2 x ) 2 2 0. Если

(2 x 1) 2 2 1 3. Так как

односторонние пределы не равны между собой, т.е. 0 3 , то предел данной функции в точке x =2 не существует.

Пример 1.10 . Найти предел функции

Решение . Найдём односторонние пределы функции в данной точ-

ке. Если x 6, то f ( x ) 2 x 3

Если x >6, то f ( x ) x 2 27 и

lim (6 2 27) 36 27 9.

Так как односторонние пределы в точке x =6 равны между собой, то предел функции в этой точке существует и равен 9.

1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция ( x ) называется бесконечно малой при x x 0 , если

lim ( x ) 0 . Бесконечно малые функции обладают следующими

1) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

2) произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

3) произведение ограниченной величины на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Рассмотрим бесконечно малые функции ( x ) и

lim ( x ) 0. Так как эти бесконечно малые функции

могут стремиться к нулю при x x 0 с разными скоростями, то для их сравнения находится предел отношения этих функций lim ( x ) . При

этом возможны следующие случаи:

A 0( А – конечное число),

( x ) называются бесконечно малыми функциями одного порядка;

2) если lim ( x ) 1, то ( x ) и ( x ) называются эквивалентны-

ми бесконечно малыми функциями при x x 0 ; в этом случае предел

отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными;

3) если предел lim не существует, то бесконечно малые

функции ( x ) и ( x ) называются несравнимыми.

Функция y f ( x ) называется бесконечно большой функцией в

точке x 0 , если для всех значений х , достаточно близких к x 0 , соответ-

ствующие значения функции по абсолютной величине превосходят любое наперёд заданное сколь угодно большое положительное число,

т.е. f ( x ) при x x 0 или lim

Пусть f ( x ) есть бесконечно большая функция при x x 0 , тогда

является бесконечно малой функцией при

есть бесконечно малая функция при x x 0 , то

ется бесконечно большой функцией при x x 0 .

функция ( x ) x 2

x 0 является бесконечно

малой функцией. Тогда функция

x 0 является бесконечно

при x будет бесконечно малой функцией.

Предел lim ( x ) отношения бесконечно малых функций может

быть конечным, бесконечным или же вообще не существует. В этом

при x x 0 называется неопределённостью

g ( x ) при x x 0 , т.е. f ( x ) и g ( x ) яв-

ляются бесконечно большими функциями в точке x 0 . Предел отношения этих функций может быть конечным, бесконечным или вообще не

Если ( x ) - бесконечно

а f ( x ) - бесконечно

большая при x x 0 , то выражение

лённостью вида 0 . Аналогично вводятся неопределённости вида

1 , 0 , 0 0 . Чтобы раскрыть неопределённость, нужно найти соответствующий предел.

Решение . Подставим предельное значение х =4 в функцию:

. Получена неопределённость вида

0 . Для её раскрытия найдём корни квадратного трёхчлена, записанно- 0

и разложим его на множители: x 2 6 x 8 0 ,

, x 2 6 x 8 ( x 2)( x 4) . Подставим разложение в числитель:

Пример 1.12 . Найти предел

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.