Провести полное исследование функции и построить график $$ y=x+\ln(x^2-4) $$

Исследуем функцию \(y=x+\ln(x^2-4)\) и построим ее график. 1. Область определения. Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x^2-4 > 0 => \)$$D_f=( -\infty;-2) \cup (2;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.

3. Четность функции.Проверяем на четность \(f(-x) = -x+\ln((-x)^2-4)\) функция не является ни четной ни нечетной.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(x+\ln(x^2-4)= 0 => x \approx 2.03\) , данное равенство можно рассматривать как общую точку двух функций \(y = -x\) и \(y = \ln(x^2-4)\).Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x = 2.03, т.е. с учетом ОДЗ три интервала знакопостоянстваинтервал \((-\infty; -2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = -3+\ln((-3)^2-4)= -1.39 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Oxинтервал \((2; 2.03)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2.01) = -2.01+\ln((-2.01)^2-4) = -5.23 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Oxинтервал \((2.03 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(3) = 3+\ln(3^2-4)= 4.61 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox

5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), точек пересечения с осью Oy нет, т.к. эта точка не попадает в ОДЗ.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x+\ln(x^2-4))' = 1+\frac $$ приравняем к 0 $$1+\frac = 0 => \frac =0 => $$$$ x^2+2x-4 =0 => x_1 = -1+\sqrt; x_2=-1-\sqrt$$ Стационарная точка \( x_1= -1+\sqrt\) не попадает в ОДЗ. Функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Найдем значение функции в этой точке \(f(-1-\sqrt)= (-1-\sqrt)+\ln((-1-\sqrt)^2-4) \approx -1.37 \), \(-1-\sqrt \approx -3.24 \)получили координаты критической точки \((-3.24; -1.37)\)Интервалы монотонности.Функция имеет одну критическую точку на ОДЗ, критическая точка и ОДЗ делят ось Ox на три интервала монотонности.интервал \((-\infty; -3.24)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = \frac = \frac > 0\), на этом интервале функция возрастает.интервал \(( -3.24; -2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-3) = \frac = - \frac < 0\), на этом интервале функция убывает.интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = \frac =\frac > 0\), на этом интервале функция возрастает. Экстремумы функции. Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Для критической точки получили,для \(x = -1-\sqrt\): \( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-3.24; -1.37)\)

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 1+\frac)'= \frac= - 2\frac $$ Приравняем к нулю $$ - 2\frac = 0 => $$ При всех значениях \(x\) из ОДЗ вторая производная меньше 0 \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).Точки перегиба.Точки перегиба нет, т.к. вторая производная не меняет знак.

8. Асимптоты.Наклонная асимптота. Для того, чтобы график функции \(у= x+\ln(x^2-4) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_=\frac =k $$находим его $$ \lim_ \frac = 1 => k= 1$$ и второй предел $$\lim_(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_(x+\ln(x^2-4) - x) = \lim_\ln(x^2-4) = +\infty $$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет. Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_f(x) = b$$ найдем его $$\lim_ (x+\ln(x^2-4)) = \infty$$горизонтальной асимптоты нет .Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точек \( x \pm 2\), найдем предел при x-> -2-0 $$ \lim_(x+\ln(x^2-4)) = -\infty $$получили \(y=-2\) вертикальная асимптота.найдем предел при x-> 2+0 $$ \lim_(x+\ln(x^2-4)) = -\infty $$получили \(y= 2\) вертикальная асимптота.