Способы решения уравнений и неравенств с параметрами

Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.

Имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа.

Суть каждого способа рассмотрена на примерах. (Приложение)

1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами

Задача 1. При каких уравнение имеет единственное решение?

Решение: 1 способ. Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,

но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ уравнения:

2) Если , то только один корень уравнения должен удовлетворять условию .

2 способ. Решим это задание аналитическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика - полупараболы с вершиной х=-3; – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом a прямая у=2х – a перемещается вправо.

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке

Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , - абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , a =

При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом .

А при имеем одну точку пересечения.

2. Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром

Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение

имеет на промежутке не меньше 3 корней?

1 способ. Заменим , причем |t| ≤ 1

Рассмотрим 2 случая:

1) , тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать.

Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности.

Видим, что при уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений и .

2 способ. Пусть , , тогда . Рассмотрим график .

В промежутке при t= - 1 уравнение имеет один корень

При - два корня, при - один корень.

Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:

Первая система имеет 4 решения. Вторая система имеет 3 решения.

Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:

Объединяя 1) и 2) получаем

3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром

Задача 3. При каких а неравенство верно для всех х?

Решение: 1 способ. Преобразуем неравенство и приведем его к виду

Пусть . Получим неравенство

Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох

Рассмотрим 3 случая:

Получаем условия для

Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: . 2 способ. Уединяем параметр

Минимум f(x) достигается при ; т.к - минимум числителя, - максимум знаменателя. Значит,

Максимум f(x) достигается при ; т.е .

Заметим, что минимум числителя и максимум знаменателя достигается при одном и том же х.

4. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

Задача 5. При каких a неравенство выполняется для всех ?

Решение: . Рассмотрим две функции

Построим эскизы графиков функций:

Найдем уравнение касательной в точке функции y= |x2-4x+3|

Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой функции и получаем, что - -a=-2 -4, a=4+2 .

Следовательно, при a =4+2 y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы

II способ.

А это значит, что

Чтобы неравенство выполнялось при всех x:

Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом - более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.