Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии - Арифметическая прогрессия - Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель: рассмотреть частный вид последовательности - арифметическую прогрессию.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

1. Определение возрастающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой аn+1 = 3 - 2аn, где a1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

1. Определение убывающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой an+1 = 3аn - 2, где a1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

III. Изучение нового материала

Из всех последовательностей наиболее изучены две: арифметическая и геометрическая прогрессии, которые будут рассмотрены в этой главе. Сначала рассмотрим арифметическую прогрессию.

Последовательность чисел аn, каждый член которой (начиная со второго) равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией: an+1 = аn + d (n ≥ 1). При d > 0 арифметическая прогрессия возрастает, при d < 0 - убывает.

Найти первые пять членов арифметической прогрессии, если а1 = 5, d = 2.

Из определения арифметической прогрессии аn+1 = аn + d получаем: при n = 1 a2 = a1 + d = 5 + 2 = 7, при n = 2 a3 = a2 + d = 7 + 2 = 9, при n = 3 a4 = a2 + d = 9 + 2 = 11, при n = 4 a5 = a4 + d = 11 + 2 = 13.

Итак, эти члены: 5, 7, 11, 13.

В определении арифметической прогрессии использована рекуррентная формула an+1 = аn + d. Удобнее получить формулу n-го члена.

Получим формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Из определения арифметической прогрессии ak+1 = ak + d запишем (n - 1) равенство:

Сложим эти равенства, тогда в левой и правой части сокращаются одинаковые члены а2, a3, . аn-1 и получаем:

Таким образом, получена важнейшая формула - формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + d(n - 1).

Как правило, задачи на эту тему достаточно простые. Наиболее распространенный прием решения таких задач - записать условие задачи, используя в качестве неизвестной первый член и разность прогрессии.

В арифметической прогрессии сумма второго и пятого членов равна 8, а третьего и седьмого равна 14. Найти прогрессию.

Выразим все члены прогрессии через ее первый член и разность: а2 = а1 + d, а5 = а1 + 4d, а3 = а1 + 2d, а7 = а1 + 6d и запишем условия задачи: 8 = а1 + а5 = (a1 + d) + (а1 + 4d) = 2a1 + 5d, 14 = a3 + a7 = 2a1 + 8d.

Для определения a1 и d получаем линейную систему уравнений Вычитая из второго уравнения первое, найдем 6 - 3d, или d = 2, и из любого из уравнений: а1 = -1.

Первый член арифметической прогрессии а1, а2, а3, . равен единице. При каком значении разности прогрессии d величина S = а1а3 + а2а3 имеет минимальное значение?

Как и в предыдущей задаче, выразим члены прогрессии а2 и а3 через первый член (a1 = 1) и разность d: а2 = а1 + d = 1 + d, a3 = а1 + 2d = 1 + 2d.

Тогда S = 1(1 + 2d) + 1(1 + d)(1 + 2d) = 2d2 + 5d + 2. Функция S в зависимости от d является квадратичной функцией (параболой) и достигает минимального значения при

Найти сумму чисел

Обратим внимание на то, что числа, стоящие под радикалами, образуют арифметическую прогрессию: 100, 101, 102, 103, . 399, 400.

Умножим числители и знаменатели дробей на разность чисел, стоящих в знаменателях:

За счет того что числа образовали арифметическую прогрессию, знаменатели дробей оказались равными разности прогрессии, т. е. 1. Тогда имеем: Легко заметить, что в данной сумме сокращаются все числа, кроме и тогда сумма

Достаточно часто арифметическая прогрессия встречается в текстовых и геометрических задачах.

Четыре целых различных числа образуют арифметическую прогрессию. Одно из этих чисел равно сумме квадратов остальных трех чисел. Найти эти числа.

Пусть эти числа имеют вид: a; а + d; а + 2d, а + 3d (очевидно, что a и d - целые числа). Запишем условие задачи: а2 + (а + d)2 + (a + 2d)2 = а + 3d, или 3а2 + 6ad + 5d2 = а + 3d. Будем рассматривать это уравнение как квадратное, считая а неизвестной и d параметром.

Запишем уравнение в виде 3а2 + а(6d - 1) + (5d2 - 3d) = 0.

Чтобы это уравнение имело решение, необходима неотрицательность его дискриминанта D. Найдем D = (6d - 1)2 – 4 · 3 · (5d2 - 3d) = 36d2 - 12d + 1 – 60d2 + 36d = -24d2 + 24d + 1 ≥ 0.

Решим это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения т. е. d1 ≈ -0,04 и d2 ≈ 1,04. Тогда решение неравенства: -0,04 ≤ d ≤ 1,04. В этом промежутке есть два целых значения d = 1 и d = 0 (не подходит, т. к. даны различные числа).

Для d = 1 уравнение 3а2 + a(6d - 1) + (5d2 - 3d) - 0 принимает вид: 3а2 + 5а + 2 = 0. Корни его: а1 = -1, а2 = -2/3 (не подходит). Итак, искомые числа: -1; 0; 1; 2.

Стороны четырехугольника образуют арифметическую прогрессию. Можно ли в него вписать окружность?

Пусть стороны четырехугольника АВ, ВС, AD, CD в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию с первым членом а и разностью d: АВ = а, ВС = а + d, AD = а + 2d, CD = a + 3d.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны, т. е. АВ + CD = ВС + AD. Проверим это условие: а + (а + 3d) = (а + d) + (а + 2d).

Так как равенство верное, то в такой четырехугольник можно вписать окружность. Но это возможно только в том случае, когда стороны четырехугольника образуют арифметическую прогрессию именно в следующем порядке: АВ, ВС, AD, CD.

Стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найти стороны треугольника.

Пусть наименьший катет ΔАВС: АВ = а, тогда второй катет ВС = а + d и гипотенуза АС = а + 2d (где d - разность прогрессии, d > 0).

Запишем теорему Пифагора: АС2 = АВ2 + ВС2, или (a + 2d)2 = a2 + (а + d)2, или а2 - 2ad - 3d2 = 0.

Решая это однородное уравнение, получим: а = 3d и а = -d (не подходит). Имеем: АВ = 3d, ВС = 4d, АС = 5d (где d - любое число). Значит, условию задачи удовлетворяют прямоугольные треугольники, подобные египетскому.

Отметим еще одно важное свойство членов арифметической прогрессии. Любой член прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних членов: (n ≥ 2) (характеристическое свойство).

Докажем характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Используя определение арифметической прогрессии, получим:

Достаточно часто при решении задач рассматриваемой темы используется характеристическое свойство арифметической прогрессии.

При каких значениях х числа 6, х2, х образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию? Найти эти числа.

Запишем свойство арифметической прогрессии: 2х2 = 6 + х. Получаем квадратное уравнение, корни которого х = -3/2 и х = 2. Тогда искомыми числами будут: 6; 9/4; или 6; 4; 2.

IV. Контрольные вопросы

1. Определение арифметической прогрессии.

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

3. Характеристическое свойство арифметической профессии.

V. Задание на уроке

№ 575 (а, б); 576 (а, в, д); 577 (б); 580 (а); 581; 583; 584 (б); 587; 589 (а); 591; 593; 595; 597 (а, б, г).

VI. Задание на дом

№ 575 (в, г); 576 (б, г, е); 577 (а); 580 (б); 582; 584 (а); 588; 589 (б); 590; 592; 594; 596; 597 (в, д, е); 598.

VII. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.