Расчет плиты, одна сторона которой защемлена, а противоположная шарнирно оперта Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»
Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Кожушко В. П.
Приведена методика расчета плит, одна сторона которых защемлена, а вторая (ей противоположная) шарнирно оперта. Исследование работы плит проведено на основе разработанного автором метода расчета пролетных строений автодорожных мостов.
Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Кожушко В. П.
DESIGNING OF THE PLATE ONE SIDE OF WHICH IS CLAMPED AND THE OPPOSITE ONE IS HINGE-SUPPORTED
The technique of plates designing, one side of which is clamped and the second one (opposite) is hinged-supported, is presented. Researches of plates work is carried out on the basis of developed by the author designing method of road bridges structures.
Текст научной работы на тему «Расчет плиты, одна сторона которой защемлена, а противоположная шарнирно оперта»
РАСЧЕТ ПЛИТЫ, ОДНА СТОРОНА КОТОРОЙ ЗАЩЕМЛЕНА,
А ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ - ШАРНИРНО ОПЕРТА
В.П. Кожушко, профессор, д.т.н., ХНАДУ
Аннотация. Приведена методика расчета плит, одна сторона которых защемлена, а вторая (ей противоположная) - шарнирно оперта. Исследование работы плит проведено на основе разработанного автором метода расчета пролетных строений автодорожных мостов.
Ключевые слова: защемление грани плиты, криволинейные плиты, плиты переменной толщины, ребристые плиты, свободное опирание грани плиты, смешанный метод строительной механики.
РОЗРАХУНОК ПЛИТИ, ОДНА СТОРОНА ЯКОЇ Є ЗАТИСНЕНОЮ,
А ПРОТИЛЕЖНА - ШАРНІРНО ОБПЕРТОЮ
В.П. Кожушко, професор, д.т.н., ХНАДУ
Анотація. Наведено методику розрахунку плит, одна сторона яких є затисненою, а друга (їй протилежна) - шарнірно обпертою. Дослідження роботи плит проведено на основі розробленого автором методу розрахунку прогінних будов автодорожніх мостів.
Ключові слова: затиснення грані плити, криволінійні плити, плити змінної товщини, ребристі плити, вільне обпирання грані плити, змішаний метод будівельної механіки.
DESIGNING OF THE PLATE ONE SIDE OF WHICH IS CLAMPED AND THE OPPOSITE ONE IS HINGE-SUPPORTED
V. Kozhushko, Professor, Doctor of Technical Science, KhNAHU
Abstract. The technique of plates designing, one side of which is clamped and the second one (opposite) is hinged-supported, is presented. Researches ofplates work is carried out on the basis of developed by the author designing method of road bridges structures.
Key words: plates face restraint, curved plates, plates with variable thickness, ribbed plates, platerib free support, mixed method of building mechanics.
Расчет пластин (плит) с различными условиями опирания их сторон по контуру, нагруженных различными внешними нагрузками, представляет собой сложнейшую задачу теории упругости, решаемую с применением сложного математического аппарата. Классическое решение расчета пластин, базирующееся на использовании дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных, подробно изложено в капитальных работах [1, 2].
Точное решение получено для прямоугольных плит с определенными граничными условиями и нагруженными сплошной распределенной нагрузкой, сосредоточенной силой, приложенной в центре плиты, симметричной кусочной нагрузкой и другими простейшими внешними нагрузками. Практически нет сведений о решении пластин, загруженных сосредоточенными моментами, приложенными в любом месте пластины.
Широко используются приближенные методы расчета пластин с применением вариаци-
онных методов [2, 3], рядов или интегралов Фурье [4], интегральных уравнений Фред-гольма [4], метода конечных элементов [5] и т.д.
Таким образом, при решении задач о напряженно-деформированном состоянии пластин с различными условиями их опирания по контуру нет единого математического подхода. Слабо освещена работа пластин, одна кромка которых защемлена, противоположная - оперта, а две другие кромки свободны, нагруженных любыми видами внешних нагрузок. Решение задачи представляет интерес для мостовиков.
Цель и постановка задачи
Предлагается работу упомянутой пластины исследовать с использованием приближенного метода, разработанного автором для расчета пролетных строений мостов [6, 7].
Прямоугольная пластина рассматривается как система взаимно пересекающихся полос (продольных и поперечных, рис. 1). Количество продольных полос (расположенных вдоль оси х) следует принимать не меньше
10. Желательно количество продольных полос назначать нечетным. Как видно из рис. 1, верхняя кромка плиты защемлена, нижняя (противоположная верхней) имеет свободное опирание, а боковые кромки - свободны. Таким образом, продольную полосу следует рассматривать как однопролетный элемент, один конец которого защемлен, а второй -свободно оперт.
Поперечную полосу метровой ширины рекомендуется вырезать в том сечении по длине I плиты, в котором предполагается определять напряженно-деформированное состояние системы (на рис.1 поперечная полоса вырезана в середине пролета продольной полосы). Поперечная полоса рассматривается как многопролетный элемент, который опирается на упруго-оседающие опоры, которыми и являются продольные полосы. При расчете системы взаимно пересекающихся полос, кроме их параметров (длины продольной полосы I и ее ширины d, или, то же самое, пролета поперечной полосы), вводятся изгибная жесткость продольной полосы (если в расчете учитываются только вертикальные усилия X, передаваемые поперечной полосой на продольные) и изгибная жесткость попереч-
ной полосы шириной один метр. Если поставлена задача определения влияния крутящих моментов Mi на напряженно-деформированное состояние системы, то дополнительно вводится жесткость продольных полос при кручении. Можно учесть и другие внутренние усилия, но они практически не оказывают влияния на распределительную способность системы.
Рис. 1. Расчетная и основная схемы поперечной полосы
Не вызывает затруднений решение плиты, имеющей различную толщину в поперечном направлении (вдоль стороны Ь). В этом случае предлагается поперечную полосу рассматривать как элемент, в котором изгибная жесткость по ее длине изменяется ступенчато. Поскольку при решении задачи надо уметь определять перемещения ступенчатой поперечной полосы, нами выведены формулы для определения перемещений (прогибов) полосы при действии на нее сосредоточен-
ных сил или моментов [9-11]. Следует отметить, что продольные полосы при переменной жесткости поперечной полосы следует вырезать так, чтобы высота продольных полос в пределах ее ширины d была постоянной, т.е. ширину продольной полосы следует назначать равной длине ступени d поперечной полосы. При этом ширину продольных полос di (или, то же, длину стороны поперечной полосы с одинаковой жесткостью) можно принимать разной, что не вызывает принципиальных затруднений при решении задачи.
Если плита имеет переменную жесткость и вдоль стороны I (вдоль пролета продольной полосы), то при определении деформаций (прогибов или углов поворота) продольной полосы необходим учет этого фактора, что также не вызывает серьезных трудностей, т.к. методика определения перемещений однопролетных полос переменной по их длине жесткости известна. Методика определения перемещений изложена в работе [13].
Не вызывает затруднений и решение задачи о напряженно-деформированном состоянии плиты, подкрепленной ребрами в одном или обоих направлениях. Если имеются продольные ребра, то продольные полосы следует вырезать так, чтобы ребра располагались по середине ширины d продольного элемента. При наличии поперечных ребер вводится приведенная к одному метру изгибная жесткость поперечной полосы (т.е. жесткость, полученная с учетом жесткости поперечных ребер). Если продольные ребра расположены на разных расстояниях по ширине плиты (вдоль стороны Ь), то продольные полосы следует вырезать переменной ширины di, что не вызывает, как уже упоминалось ранее, затруднений в решении задачи, т.к. ее решение сводится, как это будет показано далее, к решению системы уравнений, количество которых зависит исключительно от количества продольных элементов.
Не вызывает затруднений расчет однопролетных косых плит с ребрами или без них, методика определения напряженно-деформированного состояния которых (для плит со свободным опиранием двух противоположных сторон) приведена в работе [8].
Если плита имеет криволинейные очертания в плане, то продольные элементы будут криволинейными, имеющими различный пролет
I, а поперечная полоса будет иметь переменную ширину. Как показано в работе [12], приемлемые результаты дает замена плавного очертания ширины поперечной полосы ступенчатым. Для облегчения определения прогибов и углов кручения криволинейных продольных полос следует использовать составленные М.Е. Гибшманом таблицы [14], позволяющие определять эти перемещения при любой кривизне продольных полос. Количество уравнений в решаемой системе уравнений снова-таки зависит только от количества продольных полос, которые следует вводить с разным пролетом I.
Для решения задачи по определению напряженно-деформированного состояния системы применен смешанный метод строительной механики. Поперечная полоса рассматривается как многопролетный элемент на упруго-оседающих опорах (рис. 1). Роль упругих опор играют продольные полосы. Фиктивное защемление поперечной полосы вводится на левом ее конце (в точке А). При определении неизвестных усилий Д. (если в расчете учитываются только вертикальные силы Д., передаваемые поперечной полосой на продольные полосы) следует решить систему уравнений с (п+2) количеством неизвестных, где п - количество продольных полос.
)Д1 + • " + 5(1Д)Хп + Л1фА + уА + Д1Р = 0;
При учете в расчете и крутящих моментов М. количество уравнений в системе возрастает до (2п+2).
X - вертикальные усилия (рис. 1), передаваемые поперечным элементом на '-ю продольную полосу ('= 1, 2, 3. п);