9 Простейшие линейные дифференциальные уравнения

9.1 Линейное и нелинейное: кто матери-теории более ценен?

В предыдущей главе мы выяснили, что все неособые точки похожи друг на друга: подходящей заменой координат векторное поле в окрестности любой неособой точки превращается в постоянное поле. Однако особые точки бывают особыми по-своему. Нашей целью теперь является изучение особых точек.

Вообще говоря, изучение особых точек произвольных векторных полей — сложная задача. Однако, великая наука матанализ учит нас: сложное нелинейное становится простым и линейным, если посмотреть на него в микроскоп. Поэтому изучение линейного — первый шаг на пути к познанию нелинейного.

Если мы хотим понять, как ведёт себя функция одной переменной вблизи некоторой точки, мы вычислим производную функции в этой точке, приблизим график функции графиком касательной (линейной частью) и скажем, что её поведение близко к поведению её линейной части. Скажем, если производная положительна, линейная часть возрастает, а значит и сама функция возрастает.

Аналогичный подход работает и в дифференциальных уравнениях.

Рассмотрим функцию x = φ ( t ; x 0 ) , задающую решение уравнения (9.1) с начальным условием x ( t 0 ) = φ ( t 0 ; x 0 ) = x 0 . Очевидно, φ ( t ; 0 ) ≡ 0 : тождественно нулевая функция является единственным решением с нулевым начальным условием. (Если бы уравнение было автономным, мы бы сказали, что 0 является особой точкой; в данном случае уравнение неавтономное и такой термин мы использовать не можем, хотя это и близкий сюжет.)

Пусть теперь нам интересно, как ведут себя решения с начальными условиями, близкими к нулевому. Например, они могут приближаться к нулевому решению, могут убегать от него, а могут попеременно делать то одно, то другое. Это не праздный интерес: на практике мы никогда не можем установить или определить начальное условие с абсолютной точностью. Всегда есть какие-то погрешности, и нам важно понимать, как эти погрешности повлияют на выводы, которые мы сделаем из нашей модели. Например, если мы выясним, что траектории, стартующие близко к нулю, со временем уходят далеко от нулевого решения, это будет означать, что само нулевое решение не имеет «предсказательной силы» на длительных промежутках времени.

Пользуясь этим соотношением, заменим в уравнении (9.1) правую часть на f ′ x ( t , 0 ) x . Поскольку правая часть меняется «не слишком сильно» вблизи прямой x = 0 , разумно ожидать, что и решения, проходящие близко к нулю, от этого «не слишком сильно» изменятся. Однако, чтобы всё-таки помнить о том, что перед нами новое уравнение, связанные с исходным лишь приближёнными равенствами, заменим обозначение для неизвестной функции: вместо x будем писать y . Имеем:

Уравнение (9.3) является не просто уравнением с разделяющимися переменными. Оно является линейным уравнением — и, как говорят, линеаризацией уравнения (9.1) вблизи решения x ≡ 0 .

Зафиксируем какое-нибудь t 1 > t 0 . Нас интересует отображение, которое ставит в соответствие точке x 0 точку φ ( t 1 ; x 0 ) . Точнее, нас интересует, как эта функция ведёт себя при x 0 близких к нулю.

В одномерном случае ответ на вопрос «как ведёт себя функция в точке» даётся производной этой функцией в данной точке. Её-то мы и хотим найти.

Будем действовать смело и решительно. Пусть

Ответим на более сложный вопрос: что вы можете сказать про знак y ( t 1 ) ? Очевидно, y ( t 1 ) > 0 , поскольку φ ( t 1 ; x 0 ) является возрастающей по x 0 . Действительно, если предположить, что существуют точки x 2 0 > x 1 0 такие, что φ ( t 1 ; x 2 0 ) < φ ( t 1 ; x 1 0 ) , по теореме о промежуточном значении найдётся такая точка t ∗ ∈ ( t 0 , t 1 ) , что φ ( t ∗ ; x 2 0 ) = φ ( t ∗ , x 1 0 ) (см. рис. 9.2 ). А это бы противоречило теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Найдём уравнение на производную y по t (получим так называемое уравнение в вариациях в его простейшей форме):

Получается, что уравнение на производную по начальному условию имеет вид

9.2 Понятие линейного дифференциального уравнения

• ( D φ ) ( t ) = d d t φ ( t ) — простейший линейный дифференциальный оператор (это просто оператор дифференцирования, он линеен, поскольку дифференцирование линейно: производная сумма равна сумме производных, константу можно выносить за знак дифференцирования). Можно написать, что D = d d t .
• ( D φ ) ( t ) = d d t φ ( t ) − a ( t ) φ ( t ) — также линейный дифференциальный оператор. Можно написать, что D = d d t − a , подразумевая, что a — это оператор умножения на функцию a .
• ( S φ ) ( t ) = d d t φ ( t ) + a ( t ) не является линейным оператором. (Почему?)
• ( H φ ) ( t ) = d d t φ ( t ) + φ 2 ( t ) также не является линейным оператором. (Почему?)

Тогда ( D φ ) ( t ) = d φ ( t ) d t − A φ ( t ) — линейный дифференциальный оператор (здесь A — некоторый фиксированный линейный оператор A : R n → R n ).

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

Как подсказывает нам мотивирующий пример, чтобы исследовать линеаризацию решения надо исследовать линейные дифференциальные уравнения. Этим мы и займёмся.

Более точно: для любого дифференциального уравнения (9.10) найдётся такое частное решение x ∗ ( t ) , что любое другое решение этого уравнения представляется в виде x ∗ ( t ) + x 0 ( t ) , где x 0 ( t ) — некоторое решение соответствующего однородного уравнения (9.9) . (По правде говоря, в качестве частного решения можно взять любое решение неоднородного уравнения.)

Наоборот, если x 0 — решение однородного уравнения, то прибавляя его к решению x 1 неоднородного уравнения получим какое-то другое решение неоднородного уравнения. ∎