Признаки сравнения числовых рядов. Вторая часть.

В первой части этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. Вот два этих признака:

Первый признак сравнения

1. если ряд $\sum\limits_^u_n$ расходится, то ряд $\sum\limits_^v_n$ будет расходящимся.
2. если ряд $\sum\limits_^v_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_^u_n$ будет сходящимся.

Второй признак сравнения

И вот два ряда, с которыми мы и будем сравнивать исследуемые в задачах ряды: обобщённый гармонический ряд

который сходится если $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha ≤ 1$, а также сумма геометрической прогрессии

Ряд (2) сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$.

На этой странице поговорим о рядах, у которых выражение общего члена ряда включает в себя некий "несущественный" элемент: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$, $\arcctg x$, $\cos x$ или $\sin x$. В вопросе исследования сходимости таких рядов нам помогут записанные ниже неравенства. Для начала отметим, что при любом $x\in R$ верны такие неравенства:

На неравества с арксинусом и арккосинусом стоит обратить особое внимание. Дело в том, что их можно применять только когда $-1≤ x≤ 1$. Поэтому перед применением неравенств (7) и (8) нужно проверить выполнение условия $-1≤ x≤ 1$. Да и вообще, если в записи общего члена ряда указан арксинус или арккосинус, то нелишне проверить его аргумент: лежит ли этот аргумент в положенном ему интервале $-1≤ x≤ 1$ или нет? То же самое касается, кстати, и иных выражений. Например, ряд $\sum\limits_^\frac$ записан с ошибкой. Посудите сами: если $n=9$, то $n-9=0$ и значит значение выражения $\frac$ будет попросту неопределено, – мы же не можем делить на ноль! Подобного рода ошибками часто страдают стандартные типовые расчёты и контрольные работы. Поэтому предварительная (пусть и устная) проверка не помешает.

В первой части мы решали все примеры двумя способами: с помощью первого и второго признаков сравнения. В этой части станем решать примеры с помощью какого-либо одного признака, – так как все эти решения, по сути, однотипны. Хотя есть примеры, где нужно применять какой-то один признак, ибо применение иного признака сравнения будет невозможным (см. пример №7) или нецелесообразным (см. пример №8).

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме "Пределы с иррациональностями", а также "Предел отношения двух многочленов".

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Сразу обратим внимание, что общий член ряда записан корректно. Ноль в знаменателе или отрицательное число под корнем невозможны так как $4n^2-3 > 0$. Так как $0<7n-1<9n$, то выражение $\frac$, которое является аргументом арксинуса, удовлетворяет неравенству $0<\frac<1$. Т.е. аргумент арксинуса не выходит за пределы отрезка $[-1;1]$, что говорит о корректности выражения общего члена ряда. В дальнейшем такие рассуждения будем пропускать, однако проводить их (хотя бы устно) всё-таки желательно.

Ну, и так как и числитель и знаменатель общего члена ряда положительны, то $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный.

Выполнение необходимого условия сходимости проверять не будем. В принципе, очевидно, что так арксинус в числителе ограничен (см. формулу (7)), а знаменатель стремится к бесконечности, то $\lim_u_n=0$. Обычно дело и ограничивается устной проверкой, после которой переходят к одному из признаков сходимости. В данном случае переходим к применению признаков сравнения.

Выберем ряд для сравнения. Для этого сначала проведём пару неформальных рассуждений. Если $n\to\infty$, то выражение в знаменателе общего члена ряда будет стремиться к бесконечности, т.е. $\sqrt[6]\to\infty$. Но что будет с числителем? А в числителе мы имеем арксинус, который удовлетворяет неравенству (7):

В принципе, так как $0<\frac<1$, то указанное выше неравенство можно записать более точно:

Иными словами, если $n\to\infty$, то арксинус не сможет выйти даже за пределы $\frac$, в то время как знаменатель будет уходить в бесконечность. Мысленно отбросим арксинус в числителе. А в знаменателе оставим лишь наибольшую степень $n$ (как это делалось с предыдущих примерах). Дробь $\frac$ после таких преобразований примет вид $\frac=\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^\frac$ мы и станем сравнивать наш ряд. Так как $\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac$ и $\frac≤ 1$, то ряд $\sum\limits_^\frac$ расходится. А значит будет расходиться и наш ряд. Остаётся лишь формально провести доказательство этого утверждения.

В этот раз применим признак сравнения в предельной форме. Сравнивать станем с рядом $\sum\limits_^\frac$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда. В предыдущих примерах общий член "эталонного" ряда попадал всегда в знаменатель, а здесь, сугубо для разнообразия, поместим его в числитель:

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. При этом и числитель и знаменатель положительны, т.е. $u_n > 0$. Следовательно, заданный нам ряд – положительный. Так как арктангенс в числителе ограничен (см. формулу (5)), а $\sqrt[4]\to\infty$ при $n\to\infty$, то при проверке необходимого условия сходимости мы получим, что $\lim_u_n=0$. Так как эта проверка нам ничего нового не даёт (ряд может как сходиться, так и расходиться), то переходим к использованию признака сравнения.

Начнём с неформальных рассуждений для выбора ряда, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то выражение в знаменателе общего члена ряда будет стремиться к бесконечности, т.е. $\sqrt[4]\to\infty$. Но что будет с числителем? А в числителе мы имеем арктангенс. Согласно формуле (5) можно записать такое неравенство:

А для $\arctg^2\sqrt$ получим:

Данное неравенство можно и уточнить. Начальное значение $\arctg^2\sqrt$ при $n=1$ равно

Так как арктангенс – возрастающая функция, то записанное выше неравенство станет таким:

Итак, что мы имеем? Знаменатель стремится в бесконечность, а числитель не может превысить даже $\left(\frac\right)^2$. Мысленно отбросим арктангенс в числителе. В знаменателе оставим под корнем лишь $n^5$. Тогда дробь $\frac$ станет такой: $\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как $\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac$ и $\frac > 1$, то ряд $\sum\limits_^\frac$ сходится. Значит, и наш ряд будет сходиться. Осталось лишь строго доказать эту сходимость.

Здесь можно применять как первый, так и второй признаки сравнения. Мне удобнее применить признак сравнения в предельной форме (т.е., второй признак). Однако я укажу и решение с помощью первого признака сравнения, только скрою его под примечание в конце решения этого примера. Сравнивать станем с рядом $\sum\limits_^\frac$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда.

При вычислении предела был использован тот факт, что $\lim_\arctg t=\frac$. Так как $0<\frac<\infty$, то ряды $\sum\limits_^\frac$ и $\sum\limits_^\frac$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^\frac$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_^\frac$.

Как решить этот пример с помощью первого признака сравнения? показать\скрыть

Если вкратце, то решение будет таким:

Ответ: ряд сходится.

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^\frac\sin\left(\frac\cdot\pi\right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac\sin\left(\frac\cdot\pi\right)$.

Посмотрим, какие значения может принимать $\sin\left(\frac\cdot\pi\right)$. Если $n$ – чётное число, то $(-1)^n=1$, поэтому:

Если же $n$ – нечётное число, то $(-1)^n=-1$, тогда синус станет таким:

Как видите, синус в данной ситуации выступает как простой числовой коэффициент, который равен то 1, то $\frac$. Кстати, отсюда следует, что наш ряд положительный и мы можем применить признаки сравнения. Выберем ряд для сравнения. Отбросив синус, который, по сути, является простым числовым коэффициентом, получим ряд для сравнения: $\sum\limits_^\frac$. Это гармонический ряд. Он расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Однако применить второй признак сравнения (предельный признак) мы в этой ситуации не можем. Судите сами:

Полученный предел не существует, так как при $n\to\infty$ синус для четных $n$ принимает значение 1, а для нечётных – значение $\frac$. Значит ли это, что наш ряд расходится? Вовсе нет, – это говорит лишь о том, что нужно применять первый признак сравнения. Так как $\sin\left(\frac\cdot\pi\right)≥\frac$, то:

Так как ряд $\sum\limits_^\frac$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^\left(\frac\cdot\frac\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^\left(\frac\cdot\frac\right)$ расходится и $\frac\sin\left(\frac\cdot\pi\right)≥\frac\cdot\frac$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^\frac\sin\left(\frac\cdot\pi\right)$ расходится.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^\frac$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как согласно формуле (4) имеем $-1≤\cos n!≤ 1$, то $2^+\cos n!≥ 1$. Так как $5^-n > 0$ (это легко доказать, например, методом математической индукции), то наш ряд – положительный, т.е. $u_n≥ 0$.

С каким рядом станем сравнивать заданный ряд? Давайте отбросим все "несущественные" элементы для дроби $\frac$. В числителе выкинем косинус, а в знаменателе отбросим $n$. Дело в том, что порядок роста $n$ меньше, чем $5^$. Например, если $n=5$, то $5^=48\,828\,125$. После всех "отбрасываний" у нас останется $\frac=\frac=\frac\left(\frac\right)^n$. В принципе, и множитель $\frac$ можно смело убрать, так как на сходимость он не повлияет.

Итак, мы станем сравнивать наш ряд с рядом $\sum\limits_^\left(\frac\right)^n$. Это ряд вида (2), т.е. сумма элементов геометрической прогрессии с знаменателем $\frac$. Так как $\left|\frac\right|< 1$, то ряд $\sum\limits_^\left(\frac\right)^n$ сходится.

Здесь можно применять как первый признак сравнения, так и второй. Однако проще использовать неравенства, т.е. применить первый признак сравнения (если есть необходимость рассмотреть применение второго признака сравнения, то отпишите об этом на форум). Если мы вместо $\cos n!$ в числителе напишем $2^$, то увеличим данную дробь:

Так как $n < \frac5^$ (это можно доказать методом математической индукции, если есть необходимость рассмотреть здесь это доказательство, то отпишите об этом на форум), то $5^-n > 5^-\frac5^=\frac5^$. Уменьшая знаменатель мы увеличиваем дробь:

Так как ряд $\sum\limits_^\left(\frac\cdot\left(\frac\right)^n\right)$ сходится и $\frac < \frac\cdot\left(\frac\right)^n$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд $\sum\limits_^\frac$ сходится.

Ответ: ряд сходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим в третьей части.