Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости» - урок 2 - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
3) воспитывать самостоятельность в выборе способа решения геометрических задач.
I. Организационный момент
Сообщить тему и цели урока.
II. Проверка домашнего задания
Проверить задачи № 24, 31, комментируя решение.
III. Актуализация знаний учащихся
1) Фронтальный опрос.
- Сформулируйте теорему о трех параллельных прямых.
- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
- Верно ли утверждение, что если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна ей, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости? (Нет.)
- Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой? (Нет.)
- Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
2) Индивидуальная работа по карточкам (3 ученика).
С остальными учениками решение задач № 29, 30.
Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС ∉ α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α.
Дано: ABCD - трапеция; AD ∈ α, СВ ∉ α; АК = КВ, CN = ND (рис. 3).
1. KN - средняя линия трапеции, значит KN || AD.
2. (по теореме о параллельности прямой и плоскости).
Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.
ΔВСЕ (по двум углам); (Ответ: 10,5 см..
№ 1. Доказать, что если через каждую их двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.
Доказать: а || с, b || с.
3. Аналогично b || с.
№ 29. Дано: ABCD - трапеция, ВС = 12 см, M ∈ (ABC), ВК = КМ (рис. 4).
Доказать: (ADK) ∩ МС = Н.
4. следовательно КН - средняя линия ΔВМС. КН = 6 см.
№ 30. Дано: ABCD - трапеция, АВ || α, С ∈ α (рис. 5).
Доказать: CD ∩ ∈; MN || ∈, где MN - средняя линия трапеции.
1. Пусть CD ∉ α, тогда CD ∩ α = С,
по лемме АВ ∩ α. Но АВ || α — это противоречие, значит, CD ∈ α.
V. Самостоятельная работа обучающего характера (с оказанием индивидуальной дифференцируемой помощи) (см. приложение)
Ответы и указания к задачам самостоятельной работы
1. - средняя линия.
КМ || EF (теорема о параллельности трех прямых).
2. Дано: ABCD - трапеция; AD ∈ α, АЕ = ЕВ, CF = FD (рис. 8).
Доказательство: Так как АЕ = ЕВ, CF = FD, значит, EF - средняя линия трапеции ABCD.
(по теореме о параллельности прямой и плоскости)
- средняя линия трапеции
2) ABCD - квадрат, АВ = ВС = CD = DA, АВ || CD, AD || ВС.
2. Дано: ΔABC, AC ∈ α, AD = DB, BE = EC (рис. 9).
1) Так как - средняя линия ΔАВС.
1. Дано: А, В, С, D; В ∉ (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см, BD = 8 см (рис. 10).
Доказать: EFMK - параллелограмм.
1) - средняя линия,
2) - средняя линия, МК || АС, КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ ⇒ EF || КМ по теореме о параллельности прямой и плоскости.
3) Аналогично ЕК || FM.
4) EFMK - параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM.
5) Учитывая свойства параллелограмма
6) Из п. 1 и 2 следует, что
значит, b || α, но учитывая, что
1. Дано: А ∉ (BCD); AR = RD, АР = РВ, ВТ = ТС, DS = SC; BD = 6 см, PPRST = 14 см (рис. 12).
Доказать: PRST - параллелограмм.
1) - средняя линия,
- средняя линия, Из б и в следует, что РТ || RS (по теореме о параллельности трех прямых).
- средняя линия, Из а и д следует, что TS || RP (по теореме о параллельности трех прямых). TS = RP.
2. Дано: a || b, В ∈ b, В ∈ α, a || α (рис. 13).
1) Допустим, b ∉ α, b ∩ α = В, по признаку, если что противоречит условию. Значит, b || α, но так как
1. Дано: ΔАВК, М ∉ (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис. 14).
Доказать: ADEK - трапеция.
1) - средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK.
2) Рассмотрим (MNO). ΔMON ∈ (MNO). Точки Е и D - точки пересечения медиан: по свойству медиан
ΔMON ∠M - общий значит, ∠MED = ∠МОN, то есть ED || ON.
4) (по теореме о параллельности прямой и плоскости).
5) Из п. 1,3 по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK - основания.
7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED
ΔMON (из п. 3), значит, (Ответ: )
2. Дано: АА1, BB1, СС1; О - середина отрезков (рис. 15).
Доказать: АВ || (А1С1В1).
1) Так как AA1 ∩ BB1 = 0, существует α = (АВА1В1), α - единственна.
2) АО = OA1, ВО = ОВ1, значит, АВА1В1 - параллелограмм, по свойству параллелограмма АВ || A1B1, AB1 || А1В.
3) А1В1 ∈ (A1В1C), АВ ∉ (А1В1С) по теореме о параллельности прямой и плоскости.
1. Дано: А, В, С, D; D ∉ (ABC), К, М - точки пересечения медиан треугольников, ΔАBD и ΔBCD, КМ = 6 см (рис. 16).
Доказать: КМ || АС.
1) - средняя линия
2) Рассмотрим (EDF): ΔEDF ∈ (EDF), ΔKDM
ΔEDF, ∠D - общий, (по свойству медиан треугольника ).
ΔEDF ⇒ ∠DKM = ∠DEF, значит, КМ || EF.
4) KM || АС по теореме о параллельности прямой и плоскости.
Из п. 1 (Ответ: 18 см.)
2. Дано: ABCD - параллелограмм. О - точка пересечения диагоналей АС и BD; (КМ) ∩ (ABCD) = О; КО = ОМ (рис. 17).
Доказать: КВ || (AMD).
1) Существует (KBMD), так как КМ ∩ BD плоскость (KBMD) - единственная.
2) BKDM: ВО = OD, КО = ОМ, значит BKDM - параллелограмм, то есть по свойству параллелограмма КВ || DM.
3) по теореме о параллельности прямой и плоскости.
VI. Подведение итогов
I уровень: № 23, № 25.
II уровень: № 23, 25, дополнительная задача № 88.
№ 23. Дано: ABCD - прямоугольник; M ∉ (ABCD) (рис. 18).
Доказать: CD || (АВМ).
С ∉ (ABM), D ∉ (АВМ), так как M ∉ (ABCD), значит, CD ∩ (АВМ) или CD || (АВМ) - по признаку.
№ 88. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 8 cm, BD = 6 см, AB = 4 см (рис. 20).
Доказать: CD ∩ α = E.
1) Проведем плоскость (ACDB), если CD || АВ, то ACDB - параллелограмм, то есть АС = BD, но это противоречит условию, значит, CD ∩ AB = Е.
2) Рассмотрим ΔАСЕ и ΔBDE.
∠CAE = ∠DBE, ∠АСЕ = ∠BDE - как соответственные при параллельных прямых, значит, ΔEDB
ΔЕСА (по 3 углам) следовательно, то есть BE = 12 (см). (Ответ: BE = 12 cm.)
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.