Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 г.

I. МЕХАНИКА (продолжение)

6 Правая чаша рычажных весов находится под мелким моросящим дождём, а левая укрыта от него навесом. Каждая чаша представляет собой тонкостенную цилиндрическую ёмкость с площадью дна S = 0,05 м 2 и высотой бортика h = 1 мм. Интенсивность равномерно падающего дождя такова, что дождевая вода целиком заполняет предварительно опорожненную чашу весов за время = 30 c. Какой массы m гирю нужно положить на левую чашу весов, чтобы уравновесить весы в случае, когда правая чаша заполнена дождевой водой до краёв? Капли дождя падают вертикально со скоростью = 3 м/c. Плотность воды = 10 3 кг/м 3 . Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 . Соударение капель с водой в чаше считать неупругим.

На правую чашу весов, заполненную водой до краёв, действует сила

где M = Sh – масса воды в этой чаше, N – сила давления падающих капель дождя. Поскольку соударение капель с водой, находящейся в чаше, является неупругим, по второму закону Ньютона, имеем:

где – масса дождевых капель, попадающих

в чашу за малое время t. Отсюда

Учитывая малость t, находим, что приближённо Весы будут уравновешены, если масса гири на левой чаше

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

7 Развивая максимальную мощность двигателя, автобус движется по горизонтальному участку шоссе с постоянной скоростью 0. Когда автобус при неизменной мощности, развиваемой двигателем, въезжает на подъём с углом наклона 1, его скорость падает до 1. С какой скоростью 2 автобус будет преодолевать подъём с углом наклона 2 < 1 при той же мощности, развиваемой двигателем? Проскальзывание ведущих колёс автобуса на всех участках шоссе отсутствует. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости автобуса.

По условию, сила сопротивления воздуха F = , где – коэффициент сопротивления, – скорость автобуса. Поэтому часть мощности двигателя, расходуемая на преодоление этой силы, равна N1 = F = 2. При движении автобуса массой m по наклонному участку шоссе часть мощности двигателя расходуется также на увеличение потенциальной энергии автобуса: N2 = mg sin · . Полная мощность, развиваемая двигателем: N0 = 2 + mg sin . Из условия задачи следует система уравнений:

Исключая отсюда и m, получаем ответ:

8 Два одинаковых шарика подвешены на невесомых нерастяжимых нитях, как показано на рисунке. Силы натяжения верхней и средней нитей T1 и T2 известны. Найдите силу натяжения нижней нити T3, если она расположена горизонтально.

Шарики находятся в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рисунке, где mg – модуль силы тяжести. В проекции на горизонтальное и вертикальное направления условия равновесия шариков имеют вид:

Отсюда вытекают следующие равенства:

Из последнего равенства находим:

9 Маленький шарик массой m закреплён на однородном стержне массой M и длиной L на расстоянии l от его конца. Стержень прислонён к вертикальной стенке так, что образует с горизонтальной поверхностью угол . При каком максимальном значении l стержень может находиться в равновесии? Коэффициент трения между стержнем и горизонтальной поверхностью, а также в точке касания стержня со стенкой равен .

Стержень находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где mg и Mg – силы тяжести, действующие на шарик и на стержень, N1 и N2 – нормальные составляющие сил реакции горизонтальной и вертикальной поверхностей, F1 и F2 – силы трения покоя. Максимальное расстояние l соответствует случаю, когда обе силы трения покоя принимают максимально возможные значения: F1 = N1, F2 = N2. Записывая для этого случая условия равновесия стержня, имеем:

Исключая из этих уравнений N1 и N2, получаем ответ:

10 Тонкостенный стакан вместимостью V0 = 200 см 3 и массой m = 100 г погружают в воду, держа его дном вверх. На какой глубине h предоставленный самому себе стакан перестанет всплывать? Атмосферное давление p0 = 10 5 Па, плотность воды = 10 3 кг/м 3 , температура воды не меняется с глубиной. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с 2 . Размерами стакана по сравнению с глубиной его погружения, давлением паров воды, а также объёмом стенок стакана пренебречь.

Стакан будет находиться под водой в безразличном равновесии при выполнении условия

где V – объём воздуха в стакане. Отсюда V = m/ . По закону Бойля–Мариотта, p0V0 = pV, где p = p0 + gh – давление воды на глубине h. Объединяя записанные выражения, находим

При меньшей глубине погружения предоставленный самому себе стакан будет всплывать. Наоборот, при увеличении глубины погружения стакан начнёт опускаться вниз, т.к. с ростом давления воды выталкивающая сила будет уменьшаться.

11 Садовый насос, расположенный в скважине на глубине h, подаёт воду на поверхность земли по шлангу площадью сечения S. Какую мощность N развивает насос, если известно, что он наполняет водой ведро объёмом V за время ? Плотность воды , ускорение свободного падения g.

Пусть p – давление, создаваемое насосом, – скорость воды в шланге. Согласно уравнению Бернулли,

Работа A = p V, совершаемая насосом по перемещению воды объёмом V = S t, равна

По условию, V = S , откуда Объединяя записанные выражения и учитывая, что получаем ответ: