Методическая разработка урока математики по теме "Квадратичная функция, ее свойства и график"

– Обобщить и систематизировать умения и навыки по теме “Квадратичная функция”.

– Развивать логическое мышление, культуру речи, способствовать расширению кругозора, развитию математической речи.

– Развивать творческое и умственное мышление побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу, воспитание эстетических качеств.

Оборудование: мультимедийный проектор и компьютер, презентация “Квадратичная функция” (Приложение).

Приветствие, сообщение темы и цели урока.

1) Какая функция называется квадратичной?

Планируемый ответ: Квадратичной функцией называется функция вида y = ax 2 + bx + c , где x –переменная, a, b и с – заданные действительные числа, причем, а ? 0.

2) Найти координаты вершины параболы y = x 2 - 4x - 5.

Планируемый ответ: вершина параболы (2; - 9).

3) Найти нули функции y = x 2 - 4x - 5.

Планируемый ответ: нули функции: (5; 0); ( - 1; 0).

4) Найти координаты точек пересечения параболы y = 2x 2 - 8 с осями координат.

Планируемый ответ: С осью Ох ( - 2; 0) и (2; 0); с осью Оу (0; - 8).

5) Найти наибольшее или наименьшее значение функции y = x 2 - 4x - 5.

Планируемый ответ: - 9 – наименьшее значение функции.

6) Вспомним способы построения графика квадратичной функции.

Планируемый ответ: построение с помощью схемы и смещения.

7) Вспомним построение графика с помощью смещения.

Планируемый ответ: Построить график функции y = ax 2 . Сдвинуть график функции y = ax 2 вдоль оси абсцисс вправо на x0, если x0 > 0 и влево на x0, если x0 < 0. Вдоль оси ординат вверх на y0, если y0 > 0, и вниз на y0, если y0 < 0 (слайд 2 – 4).

№1 С помощью шаблона построить график функции а) у = (х – 3) 2 ; б) у = – х 2 + 1; в) у = (х + 2) 2 + 1 (самостоятельно с последующей проверкой):

а) у = (х – 3) 2 (График функции у = (х – 3) 2 является парабола, полученная из параболы у = х 2 сдвигом на 3 единицы вправо) (слайд 5). б) у = – х 2 + 1 (График функции у = – х 2 можно получить с помощью симметрии относительно оси Ох графика функции у = х 2 (слайд 5)). в) у = (х + 2) 2 + 1 (График функции у = х 2 смещается на 2 единицы влево и единицу вверх) (слайд 5).

1) По данному графику квадратичной функции выяснить её свойства (слайд 6).

а) При любых значениях х значения функции больше или равны –4; б) Значения функции положительны при х < 0 и х > 5; в) Значения функции отрицательны при 0 < x < 5, г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5; д) Функция возрастает на [2.5; ), убывает на (– ; 2.5]; е) При х = 2,5 функция принимает наименьшее значение, равное –4; ж) Точки пересечения параболы с Ох – (0;0) и (5:0); с осью Оу – (0;0); з) График функции симметричен относительно прямой х = 2,5.

2) Вспомним построение графика с помощью схемы.

а) Указать направление “ветвей”.

б) Найти вершину параболы (х0; у0). Провести ось симметрии х = х0. в) Найти нули функции, если они есть. г) Найти точку пересечения с осью ординат. д) Найти какие-нибудь дополнительные точки; е) Отметить точки и провести через них параболу.

3) Разберем построение графика на примере функции y = x 2 – 4x + 3 (слайды 7, 8).

№2. Построить график функции и по графику выяснить её свойства (Рассмотреть два способа построения графиков):

а) у = х 2 + 10х + 30

I Способ – Построение с помощью схемы (ученик у доски, затем проверить слайды 9, 10).

1) “Ветви” направлены вверх, т.к. а=1; 2) Найдем вершину параболы: х0 = –10/2 = –5; у0 = (–5) 2 + 10 * (–5) + 30 = 5; (–5; 5) – вершина; 3) Нули функции не существуют, т.к D < 0; 4) Найдем дополнительные точки: х = – 4; у = 6; (–4; 6) и точка симметричная ей (–6; 6); х = –3; у = 9; ( –3; 9); и точка симметричная ей (–7; 9);

Построим параболу, соединив эти точки (слайды 9, 10).

Выяснить её свойства.

а) При любых значениях х значения функции больше или равны 5; б) Значения функции положительны при любом х; в) Функция возрастает на [5; ), убывает на (– ; 5]; г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5; д) При х = 5 функция принимает наименьшее значение, равное 5; е) График функции симметричен относительно прямой х = 5.

II Способ – Построение с помощью смещения (другой ученик у доски отвечает, затем проверить (слайд 11)).

Преобразуем нашу функцию.

(График функции у = х 2 смещается на 5 единицы влево и 5 единиц вверх) (слайд 11).

б) у = –х 2 – 6х – 8; (самостоятельно, затем проверить).

Построение с помощью схемы (слайд 12 – 13):

1) “Ветви” направлены вниз, т.к. а = –1; 2) Вершина параболы: х0 = – (–6) / (–2) = – 3; у0 = –(–3) 2 – 6*(–3) – 8 = 1; (3; 1)-вершина. Ось симметрии х = 3; 3) Нули функции: у = 0; х1 = – 4; х2 = 2; (–4; 0) и (–2; 0); 4) Точка пересечения с осью ординат – (0; –8); и симметричную ей точка – (–6; –8);

Построим параболу, соединив точки.

Второй способ – построение с помощью смещения:

y = –(x 3) 2 + 1 (слайд 14).

1) Повторить простейшие преобразования графика функции (растяжение, сжатие и отображение графиков функций). (слайд 15). Отметить сходные и отличительные свойства этих графиков. 2) Обсуждение решения задач: “Нахождение координат точек пересечения параболы с осями координат” (аналитический способ и графический, их недостатки и преимущества, в зависимости от ситуации, алгоритм решения).

№3. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат (самостоятельно с последующей проверкой).

а) y = –2x 2 – 8x + 10

С осью Оу: х = 0; у = 10; (0; 10);

С осью Ох: у = 0; –2x 2 – 8x + 10 = 0; x 2 + 4x – 5 = 0; x1 = –5; х” = 1; (–5; 0); (1; 0)– точки пересечения.

Ответ: (0; 10) точка пересечения. с осью Оу; (–5; 0); (1; 0) – точки пересечения с осью Ох.

С осью Оу: х = 0; у = 14; (0;14);

С осью Ох: y = 0; 7x 2 + 14 = 0; x 2 + 2 = 0; Корней нет.

Ответ: (0;14) – точка пересечения c осью Оу; С осью Ох – не пересекается.

1) Обсуждение решения задачи “Нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции”; (аналитический способ и графический, их недостатки и преимущества, в зависимости от ситуации, алгоритм решения).

№4. Не строя графика функции, найти ее наибольшее или наименьшее значение:

2) у = – х 2 – 2х + 3; х0 = – 1; у0 = 4; (–1;4);

Ответ: 4 – наибольшее значение функции.

Ответ: 1 – наименьшее значение функции.

Устно Обсуждение решения задачи “Нахождение точек пересечения графиков” (графический, аналитический).

№5. Найти точки пересечения графиков (аналитически):

а) у = х 2 ; у = 3х – 2;

Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:

х 2 – 3х +2=0; х1 = 2; х2 = 1; у(2) = 2 * 2 = 4; у(1) = 1 * 1 = 1 (2; 4);(1; 1)– точки пересечения графиков;

4) у = х 2 + х – 2 ; у = (х + 3)(х – 4);

Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:

х 2 + х – 2 = х 2 – х – 12; 2х = – 10; х1 = – 5; у(–5) = (–5) 2 – 5 – 2 = 18 (–5; 18); – точка пересечения графиков;

Ответ: 2) (2; 4);(1; 1) – точки пересечения графиков; 4) (-5; 18);– точка пересечения.