Новая методика доказательства предельных теорем для распределения дробных долей показательной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»
В работе предлагается новая методика применения диофантовых уравнений с показательной функцией , позволяющая получить неулучшаемые оценки остаточных членов в центральной и локальной предельных теоремах и теореме об асимптотике больших уклонений для распределения дробных долей показательной функции .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Усольцев Лев Павлович
FUNDAMENDAL LIMIT THEOREM FOR THE DISTRIBUTION OF THE FRACTIONAL PARTS OF THE EXPONENTIAL FUNCTION
The paper proposes a new method of application of Diophantine equations with an exponential function , which allows to obtain sharp estimates remainder in the central and local limit theorem and the theorem on the asymptotic behavior of large deviations for the distribution of the fractional parts of an exponential function .
Текст научной работы на тему «Новая методика доказательства предельных теорем для распределения дробных долей показательной функции»
НОВАЯ МЕТОДИКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
© 2015 Л. П. Усольцев
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Поступила в редакцию 30.07.2015
В работе предлагается новая методика применения диофантовых уравнений с показательной функцией, позволяющая получить неулучшаемые оценки остаточных членов в центральной и локальной предельных теоремах и теореме об асимптотике больших уклонений для распределения дробных долей показательной функции.
Ключевые слова: диофантовы уравнения; показательная функция; центральная предельная теорема; локальная предельная теорема; асимптотика больших уклонений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть q > 2 - фиксированное целое число, а f (I) - вещественнозначная, интегрируемая с квадратом на отрезке [0, 1] периодическая функция с периодом 1 и коэффициентами Фурье
где А>0 и а>1/2 - постоянные. Для любого целого числа N > 2 положим
Согласно центральной предельной теореме для распределения дробных долей показательной функции (теорема Форте-Каца; см., например, книгу А.Г.Постникова [1, §15]), существует конечный предел
причем в случае, когда < 0 , при всех вещественных x выполняется соотношение
где Ф(х) - нормальная функция распределения с параметрами (0,1).
Усольцев Лев Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики. E-mail: usoltsev@ssau.samara.ru
Исследование асимптотики в соотношении (1.6) для различных классов функций I (I) проводилось как чисто вероятностными методами (наиболее значимый здесь результат объявлен в работе И.А.Ибрагимова [2]; однако в его доказательстве имеются пробелы, устранить которые автору не удалось), так и с привлечением арифметических средств ([1, § 15], [3] - [6]), коль скоро задача, породившая соотношение (1.6), имеет не только вероятностную, но и арифметическую природу.
В основе всех упомянутых работ лежит оценка модуля разности характеристических функций р (X) и р(Х) = ехр(-ст2А2/2> распределений Б и Ф соответственно. В настоящей работе, используя новую методику применения диофантовых уравнений с показательной функцией, мы прежде всего доказываем следующее утверждение.
Теорема 1. Если ст Ф 0 , то существуют положительные постоянные N > 2, с1 и с2 , зависящие от А, а и ст, такие, что при всех целых N > N
и всех вещественных X из области | X |
Из справедливости неравенства (1.7) в области | X | ^с л/Ы стандартными приемами, связанными с1 применением теоремы Эссеена (см., например, [7, с. 211, теорема 1] или [8, с. 137, теорема 2]), выводится
Теорема 2. (Центральная предельная теорема). Для всех ае (1/2,1] с стФ 0 при N ^ да равномерно относительно x, -ю^кю выполняется соотношение
с положительной постоянной в символе "О" зависящей от А, а и ст.
При доказательстве теоремы 1 мы используем не моменты распределения ¥ми , в которое переходит в результате замены функции £(1) М -ой частичной суммой ее ряда Фурье с М > 2, растущим вместе с N (так поступали А.Г. Постников и Р. Х. Мухутдинов), а его семиинварианты ук (^ М ) (к=2, 3, . . . ) , для которых нами получено представление
п =0 п =0 т =-М т =-М 1 к
с положительными постоянными в символах "О", зависящими от А, и ст. Если
с А = [а, Ь) е [0,1) и | А |= Ь - а <1 и, следовательно, сумма
где штрих у знака суммы Е показывает, что из области суммирования исключено значение т=0, а символом Шк =Шк (п1. пк) обозначено следующее условие:
Для каждого набора (т1 , . . . , тк ) отличных от нуля целых чисел т. (1=1, 2, . . . , к) при всех г=1, 2, . . . , к-1 для любых г чисел )1 < . <)г мно жества выполняется неравенство
т а 1 + т а 2 н-----н т а г Ф 0.
Представление семиинвариантов распределения Рыи , в виде (1.9) позволило провести их оценивание, осуществляя должным образом организованный перебор решений (т1 , . . . , тк ) уравнения
1 к т а +—+т а =0 (1.10)
с заданными п е (1=1, 2, . . . , к) (т.е. линейн ого уравнения!), в то время, как оценивание моментов распределения сводилось к оцениванию числа решений уравнения (1.10) с заданными целыми т. Ф 0 (1=1, 2, . . . , к) от- носительно неизвестных (п1 , . . . , пк ) е , т.е. к рассмотрению уже нелинейного уравнения.
В работах автора [4] - [6] и [9] рассматривалась и асимптотика больших уклонений. В настоящей работе, используя полученные оценки семиинвариантов ук (^ М ) и теорему В. А. Статулявичуса [10] ( см. также [8], с. 307, п. 10) о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения, мы доказываем следующее утверждение.
Теорема 3. (Асимптотика больших уклонений). Для всех ае(1/2, 1] с стФ 0 существует постоянная 5 = 5(А, а, ст)>0, такая, что в области
2 < х < 5№/6 при N ^ выполняются соотношения
дает количество дробных долей , попадающих в промежуток Д, когда п пробегает целые значения от 0 до N -1, то стД=стФ 0 (см. работу [11]) и справедлива локальная предельная теорема для распределения дробных долей показательной функции, доказанная Д. А. Москвиным и А. Г. Постниковым в работе [12]. В своих арифметических конструкциях авторы работы [12] использовали лемму 1 работы И. А. Ибрагимова [2], дающую в области | Л п N, где с>0 - по-
стоянная, оценку модуля разности характеристических функций ф1Ч (Л) и ф(Л) распределений и Ф соответственно. Если же использовать более силь ное, нежели лемма И. А. Ибрагимова, утверждение - теорему 1 настоящей работы, то теорема, содержащаяся в [12], почти автоматически примет следующий вид:
Теорема 4. (Локальная предельная теорема). При N ^ равномерно относительно т, т =0, 1, 2, . . . , выполняется соотношение
с положительной постоянной в символе "О", зависящей от стД и |Д|.
Оценки остаточных членов теоремах 2 - 4 такие же по силе, что и в аналогичных теоремах для распределения сумм независимых случайных величин, а значит, - неулучшаемые.
2. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
Очевидно, теоремы 1 - 3 достаточно доказать
для случая а /(г)& = 0, поскольку к нему
сводится и общий случай: надо только вместо функции £(1) рассматривать функцию /(г) - а . Будем поэтому далее считать, что 0
где штрих у знака суммы I означает, что из области суммирования исклют чено значение т=0. В этом случае выражение (1.2) для суммы SN (I) принимает вид:
Заметим, что, вследствие вещественнознач-ности функции (), при всех целых т Ф 0 справедливо равенство
Для целых чисел N > 2 мы полагаем
<j2 = fe2 (t)dt (j >0)
Pk = Jf (t )f (qkt )dt (k = 1,2. )
и, в силу равенства Парсеваля,
Рк = Jf (t )f (qkt )dt =
то, с учетом соотношений (2.3) и (1.1), будет:
1 1 N-1 j^ = ](1N If (qnt ))2 dt=
I IJf(t)f(q 2 11)dt
n =0 n =0 0 1 2 [n <n I 1 2
Очевидно, а является дисперсией распределения Fn .
Положим еще C =2A2 /(2a-1) и C2 =35Cj =70A2 /(2a-1) и, следуя работе [1, §15, с. 84], докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Существует конечный предел 1
lim <2 = lim fe2(t)dt = j2, (2.5)
n=0 k=1 0 2 2 N-2 N-1 -n
А так как, в силу оценки (2.9),
причем при всех целых N > 2 выполняется неравенство
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Положим
ряд Ip k абсолютно сходится. Поэтому,
мы, вследствие равенств (2.9), получаем:
(таким образом, р = || /||2).
Докажем сначала следующую оценку: 2С
Действительно, так как, вследствие (2.1), при к=0, 1, 2, . . .
Отсюда, используя оценку (2.8), выводим неравенство (2.6):
|j2 -j2| - -1 I | р l -
2 N-1 да 2C 4C N-1 да 1 - АI I _L-_LI I =
^ ДГ ¿—i ¿—i ka ^ TJ Z—f Z—f k/2
n=0k=N-n q n=0 k=N-n 2
_4C1 V2 I 1 N '42-1^ 442c
Поскольку функция- периодическая с периодом 1, то, в силу равенств (2.4), (2.2) и (2.7), мы имеем:
а из неравенства (2.6) вытекает и соотношение (2.5). Лемма 1 доказана.
Фп ^ 2С 2 140^2 Если ст Ф 0,, С =-- =- и
3 3ст2 3(2а- 1)ст2 N>6C , то, вследствие оценки (2.7), будет:
|ст2 -ст21<-^= —, Ы N 6С 4
3ст 2 5ст 6ст 8ст
|ст -ст1, 1 . С 6ст 13ст
с теми же коэффициентами Фурье am , что и у исходной функции и вещественнозначные же, периодические с периодом 1 функции
Поэтому, в силу равенств (2.14) и (2.13),
Взяв произвольно целые числа N > 2 и М > 2, введем в рассмотрение вещественнозначный тригонометрический многочлен степени М
Iя»,М«Л = ^Г/и№))2* = ^Г Г>/и(9 1 о/и(9 2
2 N-1 N-1 1 — п — п 2 N-1 2
4Г Г /(91 г/(92г)аг|4Г Г
N п -0 ,^0 ' 0 ' М ' м N п
!а-1 \т ¿—1 „г/2 ^ , 2а-1 ^ г/2
, , 2а-1 \т ^ ^ гП ^ , ^ 2а-1 ^ „г/2 , г— , , , , 2а-1 , , 2а-1 '
М N п =0г=0 2 М г=0 2 (л/2-1)М М
Лемма 2 доказана. Пусть
Б (х) = е [0,1]: Я (г) < х> (-да < х < да),(2.16)
Я„м (г ) = Я (Г) - Я (г )= (2.14) ^ (х) = ше^ е[0,1]: Ям (г)< х
Лемма 3. При всех вещественныхx справедливы неравенства
м (х-(х) < Е (х + —) + —ОТ^ ¡^м N N N м N М 1 (2 18)
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Вследствие равенств (1.3), (2.17) и (2.15), при всех вещественных x мы имеем:
Лемма 2. Справедлива оценка
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Если п1 и п2 - целые, п >0,, то, в силу (2.13),
Но тогда, вследствие равенства Парсеваля, + ше^< г е [0,1]:
п -п т\>М 2 1 та Л 1
Но, в силу неравенства П.Л.Чебышева и оценки (2.15),
а отсюда, вследствие (2.3) и (1.1), получаем:
(п -п )а ^ (п -п )/2 ^ Га т>М 2а 2 1 . 2 1 т>М !п
(п -п )/2 I 2а (п -п )/2 (п -п )/2
2 1 Г, х 2 1 2а-1 2 1 2а-1
2 2 1 м 2 2 1 (2а-1)М 2 2 1 М
Отсюда и из соотношений (2.19) и (2.20) вытекает неравенство (2.18). Лемма 3 доказана.
Следствие. При любом вещественном x выполняются неравенства
N ,М N N N ,МК N М
Лемма 4. При всех вещественных Л справедливо неравенство
С |Л| |ф (Л) -фъг (Л) |< 4
Д о4 к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Вследствие ра-
венств (1.4) и (2.18), неравенства | е -11 < | 5 |, справедливого при всех вещественных Л, неравенства Коши-Буняковского и оценки (2.16), при всех вещественных Л
1 гЛ(Я (1 (1)) 1 (1) 1
Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Если выполняется условие
то справедлива оценка
= [/2(1)А + 2Ц/(1)/(ак1)№1 н0 - N (| 0 | <1)
Переписав это соотношение для функции 1^) (т.е. с учетом (2.18), (2.15) и (2.13)), получаем:
Ы,М 4 М Т^З ММ 2 N 2
|ст2 -ст2 | < | I а а + 2У I а а |
к=0 т>М тЧк т N к=0 Ч т>М т
242с С 28С С 2С
Отсюда и из оценки (2.6) следует, что
2С С 3С |ст?,„-ст2| < |ст*„-стЦ + |ст2-ст2 |< —^ н-^—Ч
Лемма 5 доказана.
ФП ^ 2С 2 140Л2 Если стФ 0, С =-- =-
5 ст2 (2а- 1)ст2' М>6С и выполняется (2.23), то, в силу (2.24),
3С 3С ст 2 |ст2 -ст2|<-^<-^ = —, м,м N 6С 4
3ст 2 5ст 6ст 8ст
4 N ,М 4 1 N ,М 1
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. В силу равенств (2.10) и (2.7) и неравенства (2.6),
3. СТРУКТУРА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Но, в силу равенства Парсеваля, при любом целом к > 0
Поэтому, вследствие (2.3) и (1.1), при выполнения условия (2.23), будет:
Для любых целых чисел N > 2 и k > 2, любого натурального числа р < к-1 и любого упорядоченного набора целых чисел (п1 , п2 , . . . , пк ) с 0 < п < N -1 (1=1, 2. к) будем обозначать символом Ш(р)к(р)= Шк(п> , . . . , пк) следующее условие:
Для каждого набора отличных от нуля целых чисел (ш>, т2. тк ) при всех г=1, 2, . . . , р для любых г чисел )1 < . <)г множества
Для каждого целого числа N > 2 выбираем произвольно целое число и > 2, удовлетворяющее условию (2.23), и при всех целых к> 2 и нату-
ральных р < к-1 полагаем:
N n =0 n =0 m =—M m =—M 1 k 1 k (p) n n
Оценим величины vk(p) (k > 2, p < (k-1). В силу равенств (2.17), (2.14) и (2.12),
1 1 N—1 1 N—1 N—1 1 n n
Km = J(jNZM(q"'))2dt=N Z ZJ4(q1 /(q2^=
n =0 n =0 m =—M m =— Л 12 1 2
JV n =0 n =0 0 1 2
1 2^7'(m q 1 +m q 2 )t 12
1У п =0 п =0 т =-М Ш =-М 1 2
1 2 1 2 пп 12 [Ш а +Ш а =0] 12
Поэтому, в силу соотношения (2.24) (справедливого вследствие условия (2.23)),
у(1) = V = ст2 = ст2 + 6--^ (|6|< 1).(3.3)
Рассмотрим теперь случай к > 3. Лемма 6. При всех натуральных к > 3 и < к-1 справедливо неравенство
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Заметим, что, вследствие (3.1) и (1.1),
N п =0 п =0 Ш =-М т =-М | Ш — Ш |
1 к 1 к 1 1 к (3 5)
Взяв произвольно упорядоченный набор целых чисел (п1, п2. пк ) с 0 < п.<N -1 (г=1, 2, . . . , к), для которого выполняется условие
n n 1 k q m +-----+ q m =0
В силу условия W , l' ^ 04 l'0. Складывая почленно равенства (3.7), предварительно
умноженные на l" и -/' соответственно, получим:
А это, вследствие условия уу , возможно лишь при к
т.е. только тогда, когда наборы (ш ' . т' ) и
(ш '' . т'' ) пропорциональны. А поск(vльку
числа < . <)у взяты из множества произвольно и V > 2, то пропорциональны и наборы (ш '. т' ) и (ш". ш"), , т.е. эти наборы определяют целочисленные точки к - мерной плоскости, лежащие на одной и той же прямой, проходящей через точку (0, 0, . . . , 0).
Таким образом, каждое решение уравнения (3.6) с целыми компонентами, отличными от нуля,
имеет вид (ш0. 0), где (т0. т0) -4 „ 1 к' 1 к упорядоченный набор отличных от нуля взаимно
просг^1х цел^1х чисел (будем называть его базовым набором целых чисел для соответствующего набора целых чисел (п>. пк ) ) и 5 - некоторое целое число, отличное от нуля. Поэтому для взятого набора целых чисел (п1 , . . . , пк ) будет:
m =—M m =—m I m — m la " sm0—sm0 |a
0 0 a Z rika ^ a a 1/2 Z k/2 ^ 0 _,0 11/2 , (3.8) | m0—m0I s=1 s 1 ml—mk 1 s=1 s 1 ml—mk 1
относительно неизвестных (т1. тк ).
Предположим, что (т'>. т'к ) и (т">. ., т"к) - два решения уравнения (3.6), все компоненты которых - целые числа, отличные от нуля. Пусть
Таким образом, 2 < V < к-1.
Возьмем произвольно V чисел ¡1 <. множества и положим
так как а<1/2 и к > 3. Отсюда и из неравенства (3.5) следует, что
Кр) 1<^ Г — Г1 = 6 ЛkNk/2.
Лемма 6 доказана.
Лемма 7. При всех целых к>3 справедлива оценка
I V 1< -—-— 1 | / к 1 Nk/2-1 '
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. В силу (3.2), (3.5) и (3.8), при всех целых k > 3
k/2 L-! L-! L-! I . 0 . 0 11/2 '
1 У k < Л jk/2 ^ ^ I U и I
k N n =0 n =0 n =0l m —m |
1 2 k 1 k (k—1) [W ] k
где m0°. m0 - компоненты базового набора
целых чисел, порожденного соответствующим ^ М-1 п1 п-2 ^
набором целых чисел (п1. пк ); в частности, =—— I I — I -—-п—--
2 п =0 п =0 п =0,0 0 , 1 к-1 0 к-2 к-1 п л |1/2
справедливо равенство 1 2 к-1 ^^—т (а т° н—на т )|1/2
1 1 к-1 1 0 , , к 0 А ат н-----н а т =0, 1/2
а значит, и равенство
п -п п -п поскольку
.0 _ /„ 1 к П к-1 ¿ 0
0 / 1 л м л 1 л м ч « «
да = -(q да н-----нq m ). « 1 « 1 ^ 1^7
(n -n )/2 Z_i r/2 Z_i r/2 2 '
Отсюда и из неравенства (3.10) следует, что nk =0 q k1 k r=0 q r=0 2
при всех целых fc > 3 , ^ „
n n Если к > 4, то, рассуждая аналогично, получим
I у t < -rzk у у у--^n-(3.11) неравенство Bk-1 <5Bk-2 , а значит, и неравенство
N n =0 n =0 n =0 I 0 0 1 k 0 , , k-1 k 0\ |1/2 т-» /—ТГ-» TX о
1 2(k-1) k |m1^mt-1(q "+•••+q mt)\ B, < 52B,2. И т. д. Повторив наши рассуждения
k нужное число раз, мы при любом целом к > 3 по-
Для r=2, 3, . . . , к положим лучим неравенство Bk <5k-2B2 из которого, в силу
2 у . у_1_(3 12) оценки (3.14), следует, что
■ =0 n =0 n =0,0 0 x 1 r 0 , r-1 r 0Л .1/2 Л7" ck ЛТ"
12 r I m •••m (q m +••• + q m )| ,-k-2 'N 5 N
, n А отсюда, в силу (3.16), вытекает справедли-
1 r 0 , , „ r-1 r „„0
b = q rm0 н_____н q r r m0. (3.13) вость при всех целых к > 3 неравенства (3.9):
2 ^^ ^^ n - n ^^ 4 ^^ (n - n
2 /"0 -=и, 0 n1-n2 0,1/2 Г=0 /"0 (n1-n2У^ Лемма 7 доказана.
1 2 | m • q m | 1 2 q
Центральным моментом в доказательстве наших теорем является следующее утверждение, г/2 я2 (3.14) более слабые варианты которого содержатся в
Ч г=о 2 V2-1 2 работах автора [4] и [9].
N-vx^ К irv 1 7 N
n =0 r=0 q r=0 2 V2 -1 2 1
и при любом r = 2, 3, . . . , к
Лемма 8. При всех вещественных X справед-
1 = _l. | m0 | <ливо равенство
2 2' ^ Г (3.15) « (iX)k уk (N,M)
В силу соотношений (3.11) и (3.12), при всех Так как ф^и (Л) - характеристическая функция
целых к > 3 распределения ^^ , то утверждение леммы озна-
6 л^! чает, что величины ук (^ и ) (к=2, 3, . . . ) являются
| у |<—^ • ^ , (3.16) семиинвариантами этого распределения.
к м к Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. В силу со-где, с учетом соотношений (3.13) и (3.15), при отношения (3.3),
любом целом к > 3 = у . (3 18)
5 = I I — I —(п—т^уг х Если же 5 = 2, 3, . . . , то, вследствие равенства
п =0 п =0 п =0 к-1 к /*7 1 \
у . у у. у а . а = К +ук ,
1 2s t,ts ^ ^ ^ ^ m m s ^ l
1 N n =0 n =0 m =-M m =-M 1 2s l=0
1 0 0 , 1 k-1 0 . , k-2 k-1 0 0 Л 11/2 [W ] 1 2s
| m •-m (q m H-----h q m + m )| 2s [q m + ••+<? m =o]
1 k 1 1 k 2 k 1 1 2s
n-1 n1 v2 "k-1 1 1 где, с учетом равенства (3.18),
: у у • у (у (n - n )/2)1—0-0—
0—, Л ,1/2 < 1 N-1 N-1 M M
n =0 n =0 ^ =0 ^ =0Л-1 k> |m1-mk_2 • mk-1(mk-1 + bk-1)| К = • + — у • у у' • у' а •■■а + •
1=01 m°—mk 2bk 1 |1/2 K,= •+NJ7 уу • уу • ^ -а, + • (l = °,i. s-2),
1 2 k-1 1 k 2 k 1 N n 1=0 n =0 m =-M m =-M 1 2s
символом обозначено условие:
1 1 ] 1 а 1 ш + а 2 Ш =0. а 21-1 Ш + ц 21 Ш =0,
где ) , >, ) , /4 >, . . . , ^25-1, ¡25 > - любое из
N п =0 п =0 ш =-М ш =-М 1 1 2з-21 1 2з-21
В силу равенств (2.17), (2.14) (2.12) и (3.1), мы имеем:
да (у X )к 1 1 N-1
да Г; 1 \к 1 N-1 N-1 м м
п =0 п =0 ш =-М ш =-М 1 к
п =0 п =0 Ш =-М Ш =-М 1 к
возможных (равноправных) неупорядоченных разбиений множества на 5 непересекающихся неупорядоченных 2 - подмножеств, а символом при 1=0, 1, . . . , 5-2 обозначено условие:
а 1 ш + а 2 Ш =0. а 2/-1 Ш + ц 2/Ш =0,
а 2/+1 ш + а 2/ Ш =0,
извозможных неупорядоченных разбиений множества на непересекающиеся I неупорядоченных 2 - подмножеств и одно неупорядоченное (2 5-21) - подмножество (при 1=0 пары , . . . , отсутствуют). Следовательно, с учетом равенства (3.3),
(2з)! 1 N-1 N-1 М М (2з)! V3
к =12з)!(± Г Г Г' Г' а а )3
3 о 3 I N ^ ^ ^ ^ Щ -,3|
2 з! ^ п =0 п =0 т =-М т =-М 12 2 3!
и при 1=0, 1, . . . , 5-2
к = С • ^(- Г Г Г' Г' а а )/ х
2 /! п =0 п =0 Ш =-М т =-М 1 2 1 2 1 2 (1) п п
1 N-1 N-1 М М (23)!/ V12»
х(Л" Г — Г Г' — Г' ащ —ащ )= . ' 2 23-2/ .
к=2 к! к Ц (23)! 23 Ц (23 +1)! ™
А так как, вследствие оценки (3.4), при всех X е ( ю, ю)
.Г .Г ЦГ (3Л^¡N )к < eзл^V» < да,
определяющий р^ (X) , при всех вещественных X абсолютно сходится и, значит, члены в нем можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому, в силу равенств (3.18) - (3.20), из (3.21) следует, что
рмм № = Г —^+Г(-1)3X23 Г;
Я = Г(-1)3 X2з+1 Г 2 23-2М . (3.25)
Таким образом, при 5=2, 3, . . . справедливо равенство
(23)!у3 3-2 (23)!у/ Vе2
23 2 3! /=0 2 /!(23 - 2/)!
Рассуждая аналогично и учитывая равенства (3.18), получим, что при б=1, 2, . . . выполняется равенство
Вследствие абсолютной сходимости ряда (3.22) при всех X е (-ю, ю), ряды (3.24) и (3.25) также абсолютно сходятся при всех вещественных X и, значит, члены в них можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому при всех X е (-ю, ю) имеем:
V(2) да (-1)3X23у3-2 Vе2 да (-1)3X23У3-3
2! 3=2 23-2(3-2)! 6! 3=3 23-3¡3-3)!
XV2 да (-1)3 X23/3 X6v(2) да (-1)3 X2зу
22 (¡Л)3 у(2) (¡Л)4у(2) (гЛ)ку(2)
В силу равенств (3.2),
Если же 5=2, 3, . . . , то, вследствие равенства (3.1),
N п =0 п =0 т =-М т =-М 1 3' 1=0
[Ж(2)] 1 п3' 3' [ч т н—нч т ]
К =—2 — 2 I — I а —а
N п =0 п =0 т =-М т =-М 1 35
N п =0 п =0 т =-М т =-М 1 35
символом В'5 обозначено условие:
Ч 1 т н ч 2 т н ч 3 т =0. ч 3' 2 т н ч 3' 1 т н Ч 3'т =0,
где 1 , )2 , ¡3 , >, . . . , ^35-2 , 135-1 , ¡35 > - любое из
1 2 3 31-2 31-1 31
Ч т н ч т н ч т = 0. ч т н Ч т н Ч т =0,
возможных неупорядоченных разбиений множества на непересекающиеся I неупорядоченных 3 - подмножеств и одно неупорядоченное (35-31) - подмножество (при 1=0 тройки 1 , )2, )3 >, . . . ,
отсутствуют). Следовательно, с учетом равенства (3.15),
и 15 ■ М п =0 п =0 п =0 т =-М т =-М т =-М 12 3
' [4 т нч т нч т =0]
и при 1=0, 1, . . . , 5-2
(-ЖI I I I I I атат ат У х
Отсюда, в силу (3.23), следует, что при всех
п =0 п =0 п =0 т =-М т =-М т =-М 12 3 12 3 1 2 3
' [Ч т нч т нч т =0]
N п =0 п =0 т =-М т =-М 1 35
3я -21 [ч т н—нч т =0]
Таким образом, при 5=2, 3, . . . справедливо равенство
Рассуждая аналогично и учитывая равенство (3.27), получим, что при 5=1, 2, . . . выполняются равенства
у (2) = _' 1 3 3д-3 /н1
3'н2 1=0 611!(3' -31 н 2)!
Так как, вследствие оценки (3.4), при всех Л
возможных (равноправных) неупорядоченных разбиений множества на 5 непересекающихся неупорядоченных 3 - подмножеств, а символом Б'1 при 1=0, 1, . . . , 5-2 обозначено условие:
то ряд, стоящий в правой части равенства (3.30), при всех вещественных Л абсолютно сходится и, значит, члены в нем можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому, в силу равенств (3.27) - (3.29), из соотношения (3.30) следует, что
ю ^Л3'У(2) ю I ■ Л ^'н1у (2)
ф мм (Л) = 1 + I-Т^Т + I + I
1 1=0 6 1!(3' - 31 н 1)! '=1 1=0 6 1!(3' - 31 н 2)!
Г XI к Ур)| <Г ( IXI•ЭЛТ^)к Г к! < Г
Так как ряд (3.30) при всех X е (-ю, ю), абсолютно сходится, то при всех вещественных X абсолютно сходятся и ряды (3.32) и (3.33), а значит, члены в них можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому
V® да (X)3зу3-2 V00 да (X)33У3-3
(3) да (IX)33 у3-к (X)6v<3) да (X)33 у;
3! 3 (iX)6vf (г'X)9 v(Э) (iXfkvl
вещественных X справедливо равенство
Из равенств (3.26), (3.30) и (3.34) вытекает, что при всех X е (-ю, ю)
Еще раз повторив наши рассуждения, получаем, что при всех вещественных X
X у iXу X4у __2__3+_4
И т.д. А так как, в силу оценки (3.4), для любого X е (-ю, ю) при р ^ ю
то, продолжая наш процесс, мы при всех вещественных X придем к равенству (3.17). Лемма 8 доказана. Положим
с = шт(—,—г) С = 250Л3 + 3с • С . (3.35) 10Л 2•Ю3Л3^ 6 2
Лемма 9. Пусть ст Ф 0,N> шах(2,6С ) и выполняется условие (2.23). Тогда при всех вещественных X, удовлетворяющих условию
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Так как
для любого комплексного числа ъ
то, в силу соотношений (3.17), (3.3) и (2.27), при всех вещественных X мы имеем:
2 2 2 2 ст X ст X
8 -ту | -пь •Т-7^ ехр< Т^
Отсюда, в силу (3.31), следует, что при всех
Если же X удовлетворяет условию (3.36), то, вследствие (3.9) и (3.35),
у ^ к|ук'< Т П к (5Л)к _ (5 ЛП)3 у ¡5Л | X | )к <125Л31X |3 у )к <
Л3 I 1 I3 да 1 О СП А3 \ II3
у 1 = 250Л31X |3 = 2 • 103 Л3^ стЧ2 < ^^ Л'с] < 4Й ^=0 2к 4Й ст^л/^ 8 < ст2 '8 < 8 ,
а значит, в силу (3.38), будет
2 , 8 250Л | X|3 8 р (X) - е |< е ----е
Кроме того, вследствие неравенств (2.24) и (2.25), будет:
стЧ стг1 (ст1ям -"У
ст X -2 ст X 3ст .
—2 3С X 8 3С с | X |--8
Наконец, используя оценки (3.39) и (3.40) и равенства (3.35), получаем:
2 2 2 2 ( (X) - е |<|р (X) - е \ + \е -е
250Л3 | Л | 3 —Т 3С с | Л | С (|Л|3 н | Л |)
Лемма 9 доказана.
4. ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 1 И 2
Пусть ст ф 0 тах(2,6С ) (а значит, М/6С ) и выполняется более сильное, нежели (2.23),3условие
В этом случае при всех вещественных Л, удовлетворяющих условию (3.36), мы имеем:
а значит, вследствие неравенства (2.22),
и, в силу оценок (4.3) и (3.37),
|ф (Л)-е 2 |<|ф (Л)-ф (Л) | н | ф (Л)-е 2 |<
2 2 2 2 стл С6(|Л|3нЩ) стл
Теорема 1 доказана.
Из справедливости неравенства (1.7) в области (3.36) стандартными приемами, связанными с применением теоремы Эссеена (см., например, [7, с. 211, теорема 1] или [8, с. 137, теорема 2]), выводится, что при N ^ те равномерно относительно х, -те<х<те, выполняется соотношение
ст2 к! = ст - М(-М^)1/( к-2),
где ук (к=3, 4, . ) - семиинварианты распределения ¥мм . Пусть
С =—тгп(1,—,—-1 6Л v 102 Л2
Вследствие соотношений (2.26) и (3.9),
ММ 1 к// 4 25Л25Л2
1 5Л 10 Л2 6Л у 102Л2 7 ^ '
а в силу теоремы В.А. Статулявичуса о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения ([10]; см. также [8], с. 307, § 18.4.10), существует абсолютная постоянная 50 >0, меньшая единицы, такая, что для любого числа 5е (0, 50 ) при всех х, удовлетворяющих условию 1<х<5А , при N ^ те вы-
^^ М,М =ехр-[1 н 0( )], Ф(-х) А А А
где постоянные в символах "О" зависят лишь от 5, а Л(т) - степенной ряд Крамера, сходящийся в области |т |<50 . Но тогда, взяв 5=50 /2, мы, в силу неравенства (5.1) и сходимости ряда Крамера в области |т |<50 , получаем, что при всех вещественных х, удовлетворяющих неравенствам 1<х<5С 4М, при N ^те выполняются соотношения
а значит, и соотношение
F (стх) = Ф(ст х) н 0(-1=) (4.4)
с постоянной в символе "О", зависящей от А, а и ст. В силу соотношений (2.11) и М/6С при всех
ст 1 Г -1/2 1 г -12/2
(1-1/6)2х2. С3|х| _x2в С3
Отсюда и из соотношения (4.4) следует, что при N ^ те равномерно относительно х, -те<х<те, выполняется соотношение (1.8). Теорема 2 доказана.
х3 х3 1 -р,м (стмМх) = [1 -Ф(х)]-ехр-[1 нСЬ=)]
х3 х3 м (-ст, мх) = Ф(-х) -ехр - [1 н 0(
с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и ст. Поэтому найдется постоянная С8 =С8 (А, а, ст)>0, такая, что в области
при N ^ те будут справедливы соотношения
1-рмм (ст, мх) = [1 -Ф(х)]-[1 н 0^-х=)] (5.3)
5. ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 3
Пусть ст Ф 0, N > тах(2, 6С5 ) и выполняется условие (2.23), а значит, справедливы неравенства (2.26) и (2.27).
рММ (-стм мх) = Ф(-х) -[1 н 0^)]. (5.4)
с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и ст.
Естественно, в соотношениях (5.2) - (5.4) зна-
, С х/V+7/(6стV) , С (С )2+7/(12ст) С
1 -х2/2 5 ( ^ 1 -х2/2 5( 9) ( ) _ % -х2/2
чения N должны быть столь большими, чтобы по- <—е _
мимо неравенства N>mах(2,6C5) выполнялось 1
еще неравенство С С N"6>1. Мы будем считать, где С = -ехр. Лемма 10 доказана.
что выполняется более сильное неравенство
г1/6 Следствие. Для любого х из области (5.10)
Заменяя в (5.2) - (5.4) х на ^^, где а= ± 1, Ф("стхФ^ + 0^е^2),(5.12)
получим, соответственно, ст vм N ,м N ,м
1< стх + а/N <£ N1/6 (5.6) с а= ± 1 и постоянной в символе "О", зависящей от
Действительно, соотношение (5.12) вытека-ст х + а )]•[1+о( ^1)](5 7) ет из соотношения (5.11) вследствие равенства
Ф(-х) = 1 - Ф(х), справедливого при всех ве-и щественных х.
Далее, поскольку при всех х>0
N,мx ШМ N ст ст N \Ш К '
км км N ст_ ст,N NN ( ) 1 -Ф(х)= 1 е-х2/2(1 -6
Перепишем неравенства (5.6) в равносильном виде: (см., например, [13, с. 248]), при всех х> 2 мы ст ст . получаем:
-_а_• CN1/6 .1 (5.9) 1 2/? г
ст стN ст 8 стN 1 -Ф(х) = Ф(-х) >— е"х /2. (5.13)
Будем считать еще, что N>7/(3(7). В силу
(2.26), Поэтому при всех вещественных х из области
(5.10), в силу соотношений (5.11) и (5.12),
о о!\ I I ст ст N N N
а с учетом неравенства (5.5), -
• CN - — >6 CN -3 > ст ст N N V"1
ст 8 ст 7 8 7 N ,м N ,м
6 1/6 1 1/6 5 1/6 15 где а= ± 1, а постоянные в символах "О" зависят
>_ с N__1С N = — С N >2
> 7 8 78 78 > 7 ' от А, а и ст. А отсюда и из соотношений (5.7) и
Следовательно, область (5.8) вытекает, что при всех вещественных х из
области (5.10) будет:
1 -Е (стх + а) = [1 -Ф(х)]^[1 + 0(х)И1 + 0(
где С9 =5С8 /7 содержится в промежутке (5.9), а з (5 14)
значит, соотношения (5.7) и (5.8), будучи спра- = [1 -Ф(х)] [1+0( х )] ведливыми в этом промежутке, выполняются и
в области (5.10). и
Лемма 10. Для любого числа х из области а, , Г1 х3 ^
(5.10) справедливо соотношение N,мч N N \[й
ст а . _ _ х2/2. хз (5.15)
где а= ± 1, а постоянная в символе "О" зависит с а= ± 1, и постоянными в символах "O", завися-
от А, а и ст. щими от А, а и ст.
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. В силу соот- Будем считать, что N >С , а значит, (С N )г0.
ношений (2.26) и (2.25), для любого х из области Тогда, в силу условия (4.1) и неравенства (5.13),
(5.10) мы имеем: при всех вещественных х из области (5.10) имеем:
-Ф(х) = -^| 1 е-'2/2аг|< мга-1^ е^ (С9^^)2/2 ех2/2 • е"/2 4х е"/2
1 (1 + ^ + 1/(CTN,UN) 1 2 -[(1-С /Щх-1/(ст N )]2/2 <[1 -Ф(х)] -N^ = [1 -Ф(х)] • 0(-Г=) = Ф(-х) • 0^).(5.16)
^^^ 1 е-г2/2аг<• 2 е 5 N•U < e»/2 К >
Ьтт Л „¡Птг ст N __ ^ . _
(1-С /N)х-1/(ст N) ^^ CTNМN
1 Л 2 -[(1-С /Щ) х-7/(6 CTV)]2/2
2/2 _Гх_(С Y/V+7/í6CT\nYI2/г
Из справедливости в области (5.10) соотно-
шений (2.21) и (5.14) - (5.16) вытекает справед-
<—т=---^тт е " е " < ливость в этой области и соотношений (1.11) и
6^/гя-стN ст N стN ,, „ , 4 '
V,м (1.12). Теорема 3 доказана.
Относительно доказательства теоремы 4 практически все сказано в пункте 1 работы.
В связи с повышением в последнее время интереса к исследованиям дискретных распределений, заметим, что предложенная в работе методика применения диофантовых уравнений в предельных теоремах для распределения дробных долей показательной функции может быть использована и в задачах о распределении вычетов показательной функции с растущими модулями, например, в русле работ автора [14] - [16].
В заключение можно полушутя - полусерьезно сказать, что представленная работа, как и более ранняя работа [6], в частности, реабилитирует довольно широко распространенное до выхода в свет работы [3] мнение, что количественные результаты, полученные с привлечением аппарата теории чисел, как правило, более точны, чем аналогичные результаты, полученные без использования арифметических средств.
1. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. Т. 82. М.: Наука, 1966.
2. Ибрагимов И. А. Центральная предельная теорема для сумм функций от независимых величин и сумм вида Ь £ (2к 1) // Теория вероятн. и ее применен. // 1967. Т. 12. Вып. 4. С. 655-665.
3. Мухутдинов Р.Х. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией // Докл. АН СССР, 1962. Т. 142. Т 1. С. 36-38.
4. Усольцев Л.П. Неулучшаемая оценка скорости сходимости к нормальному закону и асимптотика больших уклонений в одном частном случае теоремы Форте-Каца // Исследования по аддитивной
теории чисел. Научн. труды Куйбыш. пед. ин-та, 1978. Т. 215. С. 45 - 76.
5. Усольцев Л. П. Центральная предельная теорема и большие уклонения для одной суммы с показательной функцией // В сб.: Марковские процессы и их применение. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1980. С. 105 - 114.
6. Усольцев Л.П. Об асимптотике и больших уклонениях в центральной предельной теореме для сумм вида Z f (qnt) // Вестник Самарского гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2009. т 4(70). С. 52 - 84.
7. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 264 с.
8. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972. 416 с.
9. Усольцев Л.П. О больших уклонениях для классических распределений, порождаемых дробными долями показательной функции с целым основанием // Вестник Самарского техн. ун-та, серия: Физ.-матем. науки, 2004. вып. 30. С. 99-107.
10. Statulevicius V.A. On large deviations // Zeitschrift für Wahrsch., 1966, V. 6, Т. 2, S. 133-144.
11. Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма в задаче о распределении дробных долей показательной функции // Труды Куйбыш. авиац. Ин-та. Математика. 1975. Вып. 1. С. 24 - 28.
12. Москвин Д.А., Постников А.Г. Локальная предельная теорема для рас- пределения дробных долей показательной функции // Теория вероятн. и ее применен., 1978. Т. 23. Вып. 3. С. 540- 547.
13. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) М.: Наука, 1973. 496 с.
14. Усольцев Л.П. Аналог теоремы Форте-Каца // Докл. АН СССР, 1961. Т. 137. Т. 6. С. 1315- 1318.
15. Усольцев Л.П. Оценки больших уклонений в некоторых задачах на на неполную систему вычетов. Докл. АН СССР, 1962. Т. 143. Т 3. С. 539- 542.
16. Усольцев Л.П. О показательной рациональной тригонометрической сумме специального вида // Докл. АН СССР, 1963. Т. 154. Т 1. С. 62- 64.
FUNDAMENDAL LIMIT THEOREM FOR THE DISTRIBUTION OF THE FRACTIONAL PARTS OF THE EXPONENTIAL FUNCTION
© 2015 L.P. Usoltsev
Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University)
The paper proposes a new method of application of Diophantine equations with an exponential function, which allows to obtain sharp estimates remainder in the central and local limit theorem and the theorem on the asymptotic behavior of large deviations for the distribution of the fractional parts of an exponential function. Key words: Diophantine equations; the exponential function; central limit theorem; Local limit theorem; asymptotic behavior of large deviations.