Задачи с игральными костями как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математике

Упражнениями, побуждающими внутреннюю энергию мозга, стимулирующими игру сил “умственных мускулов”, является решение задач на сообразительность, сметливость.

Гуманитарная направленность сегодня расширяет содержание математического образования. Она не только повышает интерес к предмету, как это принято считать, но и развивает в учащихся личность, активизирует их природные способности, создает условия для саморазвития. А потому, гуманитарный аспект при обучении математике способствует: приобщению учащихся к духовной культуре, творческой деятельности; вооружению их эвристическими приемами и методами научного поиска; созданию условий, побуждающих школьника к активной деятельности и обеспечение его участия в ней. Мышление человека, главным образом, состоит из постановки и решения задач. Перефразируя Декарта, можно сказать: жить – значит ставить и решать задачи. И пока человек решает задачи – он живет.

Задачи с игральными костями можно рассматривать как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математике. Они способствуют: развитию пространственного воображения; формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении; обучению логическим обоснованиям геометрических фактов; развитию конструкторских способностей, моделированию; развитию исследовательских навыков.

Задача 1. Внимательно рассмотрите фигуры в верхнем ряду:

Какую фигуру вместо знака “?” из нижнего ряда необходимо поставить?

Задача 2. На передней грани кубика нарисована 1 точка, на задней – 2, на верхней – 3, на нижней – 6, на правой – 5, на левой – 4. Какое наибольшее количество точек можно увидеть одновременно, поворачивая этот кубик в руках?

Задача 3. На игральном кубике общее число точек на любых двух противоположных гранях равно 7. Коля склеил столбик из 6 таких кубиков и подсчитал общее число точек на всех наружных гранях. Какое самое большое число он мог получить?

Задача 4. Перекатите кубик, представленный на рисунке, за 6 ходов так, чтобы он добрался до 7-го квадрата и при этом сверху была бы его грань с 6 точками. А каждый ход вы можете передвигать кубик на четверть оборота вверх, вниз, влево или вправо, но не по диагонали.

Задача 5. Вы видите на рисунке, как король Страны Головоломок играет с дикарем в кости.

Это необычная игра. В ней один игрок, подбросив кость, складывает число, выпавшее на верхней грани, с любым числом на одной из четырех боковых граней. А его соперник складывает все остальные числа на трех боковых гранях. Число на нижней грани не учитывается. Это простая игра, хотя математики расходятся во мнениях относительно того, какое именно преимущество имеет бросающий кость над своим соперником. В настоящий момент дикарь бросает кость, в результате этого броска король опередил его на 5 очков. Скажите, какое число должно было выпасть на кости?

Принцесса Загадка ведет счет выигрышам дикаря. Если это число перевести в привычную для дикаря бунгалозскую систему, то оно окажется еще больше. У дикарей из Бунгалозии, как нам хорошо известно, на каждой руке только по три пальца, так что они привыкли к шестеричной системе счисления. Отсюда возникает одна любопытная задача из области элементарной арифметики: мы просим наших читателей перевести число 109 778 в бунгалозскую систему, дабы дикарь узнал, сколько золотых монет он выиграл.

Решение. Кость должна выпасть единицей вверх. Если прибавить сюда 4 на боковой грани, то это дает сумму, равную 5. Сумма оставшихся чисел на боковых гранях (5, 2 и 3) равна 10, что, дает другому игроку преимущество в 5 очков. В шестеричной системе число 109778 запишется 2204122. Цифра справа представляет единицы, следующая цифра дает число шестерок, третья справа цифра означает число “тридцатишестерок”, четвертая цифра показывает число “порций” по 216 и т. д. Эта система основана на степенях 6 вместо степеней 10, как это имеет место в десятичной системе счисления.

Задача 6. На нижней грани кубика нарисованы 6 точек, на левой – 4, на задней – 2. Какое наибольшее количество точек можно увидеть одновременно, поворачивая этот кубик в руках?

Задача 7. Вот игральная кость: кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6.

Петр бьется об заклад, что если бросить кубик четыре раза подряд, то за все четыре раза кубик непременно упадет один раз единичным очком кверху. Владимир же утверждает, что единичное очко либо совсем не выпадет при четырех метаниях, либо же выпадет больше одного раза. У кого из них больше вероятности выиграть?

Решение. При четырех бросаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра, то есть выпадений любых очков, кроме единичного, 5 ? 5 ? 5 = 125. Точно так же возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при четырех 6росаниях появилось один, и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296 – 500 = 796, так как неблагоприятны все остальные случаи.

Ответ: у Владимира шансов выиграть больше, чем у Петра: 796 против 500.

Задача 8. Бросается игральная кость. Определить величину вероятности, что выпадет 4 очка.

Решение. В игральной кости 6 граней, и на них отмечены очки от 1 до 6. подброшенная кость моет лечь вверх любой из этих 6 граней и показать любое число от 1 до 6. итак, имеем всего 6 равновозможных случаев. Появлению же 4 очков благоприятствует только 1. Следовательно, вероятность того, что выпадет именно 4 очка, равна 1/6. В случае метания одной кости та же вероятность, 1/6, будет и для выпадения всех остальных оков кости.

Задача 9. Как велика вероятность получить 8 очков, бросив 2 кости 1 раз?

Решение. Подсчитать число всех равновозможных случаев, могущих получиться при бросании 2 костей, нетрудно, исходя из таких соображений: каждая из костей при бросании дает 1 из 6 равновозможных для ее случаев. 6 таких случаев для одной кости сочетаются всеми способами с 6 же случаями для другой кости, и таким образом получается всего для 2 костей 6 ? 6 = 6 2 = 36 равновозможных случаев. Остается подсчитать число всех равновозможных случаев, благоприятствующих появлению суммы 8. Здесь дело уже несколько осложняется.

Мы должны сообразить, что при 2 костях сумма 8 может выброситься только следующими способами (табл. 1).