Тренировочная работа в формате ЕГЭ по математике от 28 января 2014

В1. В доме, в котором живет Женя, один подъезд. На каждом этаже по восемь квартир. Женя живет в квартире 87. На каком этаже живет Женя?

Женя живет на 11 этаже, так как .

В2. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 16 кг вишни?

При приготовлении варенья на 16 кг вишни расходуется кг сахара. Следовательно, требуется купить 24 упаковки (килограммовых) сахара.

В3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место занимала Папуа – Новая Гвинея, одиннадцатое место – Индия. Какое место занимал Узбекистан?

В4. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.

Эпсилон:

Первоначальный взнос: + за 6 месяцев сам кредит . Итого (рублей).

Дельта:

Первоначальный взнос: + за 12 месяцев сам кредит . Итого (рублей).

Омикрон:

Первоначальный взнос: + за 12 месяцев сам кредит . Итого (рублей).

В салоне «Эпсилон» покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты) и составит рублей.

В5. Точки , , – середины сторон треугольника . Периметр треугольника равен 5. Найдите периметр треугольника .

Так как и – середины сторон соответственно, то – средняя линия треугольника .

Следовательно, по свойству средней линии

А так как по условию периметр равен 5, то

В6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей есть

В7. Найдите корень уравнения

В8. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 125° и 47°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Пусть, например * , и

Вписанный угол опирается на дугу , а угол – на дугу . Эти две дуги образуют собой окружность, то есть сумма градусных мер указанных дуг – 360˚. Тогда сумма вписанных углов и , опирающихся на эти дуги, будет равна 180˚, ведь вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую опирается .

Меньший из найденных углов – угол , градусная мера которого 55˚.

* Заметим, данные два угла не могут быть противоположными (по вышесказанному), иначе их сумма должна была бы равняться 180°.

В9. На рисунке изображён график производной y = f ′(x) функции f (x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция f (x) принимает наименьшее значение?

На отрезке [−3; 1] принимает отрицательные значения (лежит ниже оси ), значит на отрезке [−3; 1] функция убывает.

Соответственно, наименьшее значение функции на отрезке [−3; 1] будет достигаться на правом конце отрезка, то есть в точке 1.

В10. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Многогранник, изображенный на рисунке, можно разбить, например, на 2 прямоугольных параллелепипеда так, как это показано на рисунке.

Причем, объемы у этих прямоугольных параллелепипедов равны: (Объем прямоугольного параллелепипеда есть произведение трех его измерений (длины, ширины и высоты)).

Тогда искомый объем есть

В11. Найдите значение выражения

Ко второму слагаемому знаменателя применяем формулу приведения:

В12. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением , где (атм) — давление в газе, — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.

Так как изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере, то

При давление в сосуде в 128 атмосфер имеем:

Возведем обе части равенства в 5-ю степень:

В13. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка

Уточним, раз пирамида правильная, то в основании лежит квадрат и вершина проецируется в центр этого квадрата, то есть в точку пересечения диагоналей.

В частности, у правильной пирамиды все боковые ребра равны между собой ( ).

Рассмотрим, например, треугольник . Он прямоугольный, так как , а значит перпендикулярна любой прямой плоскости , в частности, прямой .

В нем и (так как диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам).

В14. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий – за 24 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Как именно заполнялась таблица?

Принимаем работу (она состоит в наполнении бассейна) за 1.

I и II трубы наполняют бассейн за 10 минут, значит их совместная скорость заполнения бассейна часть бассейна в минуту.

Аналогично II и III трубы заполняют бассейн со скоростью часть бассейна в минуту.

И скорость заполнения бассейна I и III трубами –

Складывая совместные скорости труб I, II; I, III и II, III, мы получаем удвоенную совместную скорость работы труб I, II и III.

Поэтому совместная скорость заполнения трубами I, II и III бассейна есть

Тогда время заполнения бассейна тремя трубами есть (мин).

В15. Найдите точку максимума функции

Рассмотрим знаки производной функции на образовавшихся промежутках, а также укажем поведение функции.

Видим, что – точка максимума.

Смотрите также задания C1, С2, С3, С4 Тренировочной работы от 28 января 2014 года.