Задача 13 (С1). Методы решения уравнений.

На занятии мы вспомним различные методы решения уравнений, поговорим о появлении посторонних корней и случаях утери корней.

Методы решения уравнений.

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения, однако на ЕГЭ часто можно встретить уравнение или неравенство, сводимое к квадратному. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным или понизить их степень, используя разложение на множители. Основные методы, которые мы сегодня рассмотрим, понадобятся нам при решении задач 13 и 15 подготовки к ЕГЭ. Методов решения уравнений гораздо больше, мы рассмотрим только те, которые могут встретиться на ЕГЭ при решении задач части С.

Методы решения уравнений:

а) метод разложения на множители;

б) метод введения новой переменной;

в) графический метод;

г) метод оценки области значений.

Разложение на множители важный метод, и часто он встречается в паре с заменой переменной. Сегодня мы рассмотрим этот метод на обычных уравнениях, на следующем занятии мы посмотрим, как этот метод применяется с тригонометрическими формулами. Также рассмотрим метод замены переменной и все, что с ним связано.

Метод разложения на множители.

Пусть дан многочлен Pn(x) = anx n + an-1x n-1 + . +a1x + a0 , где an ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1, то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P4(x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Два корня найдены, остается рассмотреть, есть ли решения у квадратного трехчлена в скобках.

Уравнения высших степеней.

1) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 – вводится замена

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Решить уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0.

Делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = A, коэффициенты a+b = c+d

5) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd решается группировкой и делением на х 2 , после чего подбирается замена.

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4.

6) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Задачи к уроку:

Решите уравнение методом разложения на множители:

Решите уравнение методом разложения на множители:

Решить уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0.

Решите уравнение методом замены переменной:

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Сведите к квадратному уравнение:

Сведите к квадратному уравнение:

Сведите к квадратному, сделав замену:

Сведите к квадратному, сделав замену:

Сведите к квадратному, сделав замену:

Приведите уравнение к квадратному:

Нестандартные методы решения:

Решить уравнение, предварительно учтя ОДЗ:

Решить уравнение, оценив область значений:

Найдите количество корней уравнения

Тригонометрические уравнения

Материал к уроку 4.12.16.

Решите уравнения, используя разложение на множители, замену переменной, введение вспомогательного угла или универсальную тригонометрическую подстановку:

Решить уравнение Найти все корни, принадлежащие промежутку .

Задания по теме для самостоятельного решения

Найдите произведение корней уравнения: 0 , в ответ запишите степень тройки, входящей в квадрат найденного произведения.

Решите уравнение. В ответ запишите произведение меньшего корня на количество корней(x²+x)²-8x²-8x+12=0.

Решить уравнение: x²(x²-1)(x²-2)(x²-3)=24 В ответ запишите произведение большего корня на их количество.