Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности

Тема: «Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности».

1. Изучить логические операции с высказываниями: конъюнкция,дизъюнкция, инверсия.

2. Научиться составлять таблицы истинности на основе логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия.

Оборудование: ПК Pentium IV

Программное Windows-7, Word, методическое пособие

Ход работы.

Законы логических операций

Правила преобразования логических выражений

Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

— для логического умножения:

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

— для логического умножения:

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. В обычной алгебре (а + b) + с = а + (b + с) = а + b + с, а х (b х с) = а х (b х с) = а х b x с.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В обычной алгебре (а + b) хс = ахс + bхс.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения:

— для логического умножения:

А&А =А. Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения: — для логического умножения:

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

— для логического сложения: — для логического умножения:

11. Закон исключения (склеивания):

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Самостоятельная работа

Задание 1

1. Какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

1. "Солнце есть спутник Земли";
2. "2+3*4";
3. "Сегодня отличная погода";
4. "В романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";
5. "Санкт-Петербург расположен на Неве";
6. "Музыка Баха слишком сложна";
7. "Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";
8. "Железо — металл";
9. "Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным";
10. "Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный".

2. Определите значения истинности высказываний:

1. "Наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт";
2. "Наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт";
3. "Если целое число делится на 6, то оно делится на 3";
4. "Подобие треугольников является необходимым условием их равенства";
5. "Подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства";
6. "Треугольники подобны только в случае их равенства";
7. "Треугольники равны только в случае их подобия";
8. "Равенство треугольников является достаточным условием их подобия";
9. "Для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были не подобны";
10. "Для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны"

1. Построить таблицу истинности для логических функций (см. работу)

Задание 2

1. Какое тождество записано не верно (см. работу)

2. Определите, каким законом алгебры чисел (сочетательному, переместительному, распределительному, аналога нет) соответствуют следующие логические тождества (см. работу)

3. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значение О на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-ложное (см. работу)

4. Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно принимает значение 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-истинное (см. работу)

5. Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул (см. работу)