Урок: «сложение векторов» Предмет: Геометрия Тема: Сложение векторов

Класс: 9 класс Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области Город: Кемеровская область

Знать , как находится сумма двух и нескольких векторов, законы сложения векторов; какие векторы называются противоположными.

Уметь строить сумму данных векторов, пользуясь правилом треугольника и параллелограмма, применять правила при решении задач.

Организационный момент: объяснить цели урока

Проверка пройденного материала:

1. Верно ли утверждение:

Если = , то и коллинеарны

2. № 751 (б). Определите вид четырехугольника АВС D , если:

, а векторы и не коллинеарны. ( трапеция )

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы и

1. Противоположные векторы

Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направления, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ) и (произносится «минус »).

На рисунке изображены противоположные векторы и , т.е.  = и . Если = , то = -

2. Правило треугольника

Если переместить тело из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С (Рисунок1), то суммарное перемещение из А в С представляется вектором . Так складывают векторы и :

В рассмотренном случае конец первого вектора является началом второго вектора . В общем случае векторы и складываются следующим образом ( рисунок справа). Сначала откладывают от какой-либо точки А вектор = , а потом от точки В вектор = . Тогда вектор представляет сумму векторов и : + = + =

3. Сумма двух векторов.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника .

В частности, если вектор складывается с противоположным ему вектором (- ), то в сумме получается нулевой вектор: + (- ) = 0. Складывая векторы и по правилу треугольника, мы поступали так:

Выбирали точку А, откладывали от нее = , затем от точки В откладывали вектор = и получали вектор = + . Покажем, что полученный таким образом результат, т.е. сумма векторов и не зависит от выбора точки А. Для этого выберем какую-нибудь точку А 1 , отличную от точки А. По правилу треугольника построили векторы = и = .Требуется проверить, что векторы и АС равны. Действительно, т.к. = и = , то = , тогда АВВ 1 А 1 - параллелограмм, отсюда АА 1 = ВВ 1 . Аналогично из векторного равенства = вытекает, что = . Тогда т.к. два вектора и равны третьему вектору , то = . Следовательно,АСС 1 А 1 - параллелограмм, отсюда =

При сложении векторов и имеют место следующие неравенства для модулей этих векторов:

 +     +   и  +    -   причем равенство  + =  -   достигается только в случае противоположно направленных векторов и .

Эти неравенства вытекают из неравенства треугольника для любых точек А,В и С ( в том числе и лежащих на одной прямой).

Анимация двух векторов.

4. Сложение векторов

П ри сложении векторов, как и при сложении чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы. Кроме этого вы познакомитесь с правилом, по которому можно построить сумму двух неколлинеарных векторов.

5. Переместительный закон сложения.

Теорема: (Переместительный закон сложения векторов или коммутативность сложения)

Для любых векторов и справедливо равенство: + = +

Доказательство: Рассмотрим сначала случай коллинеарных векторов и . Тогда либо , либо . Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b  а от произвольной точки А 1 отложим вектор = , затем = . Тогда по определению = + . , т.к.   =  +  =   +   и   =  +  =   + .   и  - скаляры, то

Е сли , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b  а от произвольной точки А 1 отложим вектор = , затем = . Тогда по определению = + . , т.к.   =  +  =   -  и   =  +  =    - .   и  - скаляры, то

6. Правило параллелограмма

Раньше, чтобы получить сумму векторов и , мы пользовались правилом треугольника. В доказательстве предыдущей теоремы мы получили правило параллелограмма: Если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма. Итак, чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки О вектор = и = и построить параллелограмм ОАСВ. Тогда = +

7.Сочетательный закон умножения

Операция сложения векторов, как и операция сложения чисел, обладает и сочетательным свойством.

Т еорема: (Сочетательный закон сложения, или ассоциативность сложения).Для л юбых , и справедливо равенство: ( + )+ = + ( + )

Доказательство: Отложим от точки А вектор = , а затем от точки В - вектор = и от точки С - вектор = . Т.к. по правилу треугольника + = + =

Замечание: Сочетательный закон сложения векторов справедлив для любого числа векторов

Тренажер ( отрабатываются навыки законов сложения)

Укажите недостающие значения в формулах.

8. Сумма нескольких векторов

Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий и т.д. Сумма векторов , , и обозначается так: + + + . Из определения вытекает способ построения суммы нескольких векторов.

П остроим, например, сумму + + + векторов , , и . От произвольной точки О отложим вектор = , от точки А отложим вектор = , а затем от точки В - вектор = , наконец, от точки С - вектор = . Тогда, по определению, вектор - сумма векторов , , и или = + + + .

Тренажер (показ анимации сложения пяти и семи векторов)

1. Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.

2. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

3. Правилом треугольника называется следующее последовательное построение: сначала откладывают от произвольной точки А вектор = , а потом от точки В - вектор = . Тогда = +

4. Если вектор складывается с противоположным ему вектором, то в сумме получится нулевой вектор.

5. Теорема (Переместительный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: + = +

6. Правило параллелограмма: если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного параллелограмма.

7. Теорема(Сочетательный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: ( + )+ = +( + ).

8. Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий.

9. Способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

10. Если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то суммой таких векторов будет нулевой вектор.

IV. Закрепление полученных знаний:

1. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы = и = вектор

2. Векторы и отложены от точек А и А 1 , причем = = , = = . Как называется фигура АСС 1 А 1 ?

3. №770 . Дан параллелограмм АВС D . Выразите вектор через векторы и , если = , =