Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции (стр. 1 из 2)

на тему «Понятие функции. Область определения функции.

Способы задания функции»

2. Способы задания функции…………………………………………. 5

3. Виды функций и их свойства……………………………………………. 6

Список использованной литературы…………………………………………. 12

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция- если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Раздел 2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число kназывается коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиb-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x 2

Свойства функции y=x 2 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8. В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9. В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x - n , где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7. В этом случае функция y=x - n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y=Öх - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y= 3 Öх

Свойства функции y= 3 Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y= 3 Öх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y= n Öх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх. При нечетном n функция y= n Öх обладает теми же свойствами, что и функция y= 3 Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x r , где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x r :

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x 5/2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x r , где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x 2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x r , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x - r , где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x - r :

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.