Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве(основные определения)

Пусть X – некоторое множество, входящее в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

Определение 1. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наибольшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство

Наибольшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают

Определение 2. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наименьшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство

Наименьшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают

Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве X часто называют максимальным значением функции f (x) на множестве X или максимумом функции f (x) на множестве X . Наименьшее значение функции на множестве X часто называют минимальным значением функции f (x) на множестве X или минимумом функции f (x) на множестве X .

Пример 1. Минимальным значением функции y = x 2 на множестве является число 0 (рис. 1).

Максимального значения функция y = x 2 на множестве не имеет.

Пример 2. Максимальным значением функции y = – x 2 на множестве является число 0 (рис. 2).

Минимального значения функция y = – x 2 на множестве не имеет.

Пример 3. Функция y = x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).

Пример 4. Функция y = arctg x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).

Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса

Как мы видели в примерах 1 - 4, даже такие хорошо известные функции, как

не имеют наибольших или наименьших значений на множестве . Однако, если бы в качестве множества X мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.

Примеры решения задач

y = 2x 3 + 3x 2 – 36x + 30(1)

Из формулы (2) получаем, что критическими точками функции (1) являются точки x = – 3 , x = 2, причем только точка x = 2 принадлежит отрезку [–2, 4] . Вычисляя значения функции (1) в критической точке x = 2, а также на концах отрезка x = – 2 и x = 4 , получим:

y (2) = – 14 ,y (– 2) = 98 ,y (4) = 62 .

Ответ. Наибольшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно 98 , а наменьшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно – 14 .

на отрезке [–1, 27] .

Решая уравнение y' = 0 , получим

Заметим также, что производная (4) функции (3) не существует в точке x = 0 . Следовательно, у функции (3) есть три критические точки: x = 0, и , причем все эти точки лежат на отрезке [–1, 27] . Вычисляя значения функции (3) в критических точках x = 0, и , а также на концах отрезка x = – 1 и x = 27 , получим:

y (0) = 0 , y (– 1) = – 1 ,y (27) = 99 .

Ответ. Наибольшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно 99 , а наменьшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно – 1 .

y = (x – 4) e | x | (5)

Решение. Для того, чтобы найти критические точки функции (5), перепишем правую часть формулы (5), используя определение модуля:

В точке x = 0 производная функции (5) не существует. Критическими точками являются точки

Все критические точки принадлежат отрезку [–1, 6] . Вычисляя значения функции (5) в критических точках x = 0, x = 3, x = 5, а также на концах отрезка x = – 1 и x = 6 , получим:

y (0) = – 4 ,y (3) = – e 3 ,y (5) = e 5 ,y (– 1) = – 5e ,y (6) = 2e 6 .

Ответ. Наибольшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно 2e 6 , а наменьшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно – e 3 .

y = (x – 27) e 28 – x (6)

на отрезке [23, 40] .

Решая уравнение y' = 0 , получаем, что функция (6) имеет единственную критическую точку x = 28 , причем эта точка лежит на отрезке [23, 40] . При переходе через точку x = 28 производная функции (7) меняет знак с «+» на «–» , откуда вытекает, что точка x = 28 является точкой максимума функции (6) на множестве . Следовательно, точка x = 28 является точкой максимума функции (6) и на отрезке [23, 40] . Найдем значение функции (6) в точке x = 28 :