1.2. Наращение по простым процентам
Наращенная сумма ссуды (долга, депозита, др. видов средств) - первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Р - первоначальная сумма денег, ден. ед.,
i - ставка простых процентов, % или доли. В расчетных формулах обычно используются доли.
С учетом введенных обозначений проценты, начисленные за один период, будут равны Pi, а за n периодов соответственно Р n i, тогда можно записать: I = Pni (1)
Изменение суммы долга в течение n периодов с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины: Р, Р + Рi = P(1+i ), P(1+i )+ Pi = P(1+2i ), … , P(1+ ni ).
Первый член этой прогрессии равен Р, разность равна Pi, последний член прогрессии определяется формулой
S = P (1+ ni ), (2)
которую называют формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.
Здесь выражение в скобках (1 + n i ) является множителем наращения – он показывает во сколько раз наращенная сумма S больше первоначальной суммы Р.
Наращенную сумму S можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р и суммы процентов I:
S = P + I . (3)
Пример 1. Ссуда в размере 100 000 руб. выдана на срок 1,5 года при ставке простых процентов равной 15% годовых. Определить проценты и сумму накопленного долга при единовременном погашении ссуды по истечении срока.
Р = 100 000 руб.,
n =1,5 года,
i = 0,15 или 15% .
I = ?, S = ?
Решение.
1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств 1 .
Для расчета процентов воспользуемся формулой (1)
I = Рni = 100 000 ·1,5 · 0,15 = 22 500 руб. – проценты за пользование ссудой в течение 1,5 лет.
По формуле (2) находим сумму накопленного долга:
S = P (1+ ni )= 100 000 (1+1,5 · 0,15) = 122 500 руб.
Другой способ расчета наращенной суммы, по формуле (3)
S = P + I = 100 000 + 22 500 =122 500 руб. – сумма накопленного долга по истечении 1,5 лет.
2-й вариант. Расчетные формулы и результаты вычисления в среде Excel представлены на рис. 3.
Рис. 3. Результаты решения задачи: а) - расчетные формулы,
б) - результаты вычислений
3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Специальная функция для вычисления простых процентов в среде Excel отсутствует.
1.3. Практика начисления простых процентов
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год. При продолжительности ссуды менее года, когда необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору, срок ссуды п выражается в виде дроби:
n = t / K , (4)
где п - срок ссуды (измеренный в долях года),
К - число дней в году (временная база),
t - срок операции (срок пользования ссудой) в днях.
В зависимости от того, какое количество дней в году берется за базу, различают два вида процентов:
- обыкновенный процент (коммерческий), когда в году принимается 360 дней, т.е. 12 месяцев по 30 дней;
- точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.
В зависимости от числа дней пользования ссудой различают два способа начисления процентов:
- точный способ - вычисляется фактическое число дней между двумя датами;
- приближенный способ - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, когда все месяцы содержат по 30 дней.
Следует помнить, что в обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.
С учетом этого, на практике могут применяться три варианта расчета процентов:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика);
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).
Замечание. Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.
Пример 2. Ссуда, размером 100 000 руб., выдана на срок с 21 января 2009 г. до 3 марта 2009 г. при ставке простых процентов, равной 15% годовых. Найти:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Р = 100 000 руб.,
Tнач = 21 января 2009 года,
Tкон = 03 марта 2009 года,
i = 0,15 или 15%.
I1 = ? , I2 = ? , I3 = ?
1-й вариант. Для вычисления процентов с помощью подручных вычислительных средств воспользуемся формулой (1) с учетом формулы (4):
I = P n i = P ( t / K ) i.
Предварительно по табл. 1 (Приложение 1), либо по календарю рассчитаем точное число дней между двумя датами: t = 62 - 21 = 41день, тогда получим
1) К= 365, t = 41, I1 = 100 000 * (41 / 365) * 0,15 = 1 684,93 руб.;
2) К= 360, t = 41, I2 = 100 000 * (41 / 360) * 0,15 = 1 708,33 руб.
Приближенное число дней составит 42 дня (январь 9 дней + февраль 30 дней + март 3 дня), тогда начисленные проценты будут равны
3) К= 360, t = 42, I3 = 100 000 * (42 / 360) * 0,15 = 1 750,00 руб.
Следует обратить внимание на то, что для каждого случая получили свой результат.
2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией ДОЛЯГОДА (находится в категории Дата и время). Данная функция возвращает долю года, которую составляет количество дней между двумя датами (начальной и конечной).
Если функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, то необходимо подключить надстройку «Пакет анализа» (для Excel 97-2003: меню Сервис => команда Надстройки => Пакет анализа => выбор подтвердить нажатием кнопки OK; для Excel 2007: меню Главная (правая клавиша мышки) => Настройка панели быстрого доступа…=>Параметры Excel => Надстройки => Перейти => Пакет анализа).
Синтаксис функции ДОЛЯГОДА(нач_дата; кон_дата; базис) и ее аргументы:
нач_дата – начальная дата,
кон_дата – конечная дата,
базис – используемый способ вычисления дня. Возможные значения базиса при различных способах вычисления приведены в таблице 1.