4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде
4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случаеcоставляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока i1(0+) через известные значения uC(0+) и i2(0+):
Дифференцируя выражение для i1(t), получим
Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим
Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем
i1(0+) = – 250 A/с.
4.2. Определение i1(0+) и i1(0+) с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0+. Схема замещения в 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 2.5
ЕС = uС(0–)
J = iL(0–)
По II закону Кирхгофа получим
Для построения схемы замещения в (0+) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:
Таким образом, следует определить iC(0+) и uL(0+) с помощью уже полученной схемы замещения:
а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону Кирхгофа:
uL(0+) – iR2(0+)R2 = – uC(0+)
подставив значения, получим uL(0+) = 0, следовательно, .
б) iC(0+) = i1(0+) = 0,5 A , следовательно, = 5000 B/с.
При построении схемы замещения в 0+ для производных следует:
источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;
номиналы резисторов остаются неизменными;
емкости и индуктивности же замещаются в соответствии со следующим правилом – емкости с нулевыми начальными условиями ( ) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями( ) – противодействующими источниками ЭДС с ;
ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия ( ) размыкаются, в случае ненулевых начальных условий ( ) индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .
Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа.
В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. ).
Т аким образом, схема замещения вt = 0+ для производных имеет вид (рис. 2.6). Определим .
4.3. Определение постоянных интегрирования:
Решив данную систему уравнений, получим
А1 = 0,1667, А2 = – 0.455.
5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде
i1(t) = i1пр + i1св.
С учетом производных расчетов получим
Для удобства построения графика преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:
( + ) прибавляется к аргументу, так как угол имеет отрицательный знак
и положительный знак ,
т.е. если рассматривать единичную окружность, данный угол находится во II четверти координатной плоскости.
Угол определяется в радианах, так как свободная частота измеряется в рад/с. Таким образом, искомый ток
i1(t) = 1/3 + e – 350 t 0,485 sin(421,308t + 2,788).
6. Построение графика изменения тока i(t). Оценим соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды. Постоянная времени экспоненты exp = 1/8 = 0,00286 с. Период синусоиды Tsin = 1/f = 2/ = 0,0149 с. В связи с тем, что ехр << Tsin, график строится по точкам. Результаты расчетов значений тока i1(t) записаны в табл. 2.2., а график изменения i1(t) изображен на рис. 2.7.