F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

1 Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно рассмотреть функцию = (, ), где = () То есть это сложная d d d функция, производная для которой Так как d d d d (, ) = C, то Отсюда d и Пример Записать уравнение касательной к кривой 7 в точке М(, ) Уравнение касательной к кривой в точке (, ):, 7. Искомое уравнение: Запишем уравнение касательной к кривой (, ) = C в точке (, ) в общем виде,, подставим в уравнение касательной. после преобразований получим: Рассмотрим более сложный случай Пусть функция = (, ) неявно определяется из уравнения (,, ) = C Продифференцируем функцию (,, ) по и по, соответственно, используя правило дифференцирования сложной функции Тогда и Отсюда получаем и Пример: Найти частные производные функции (, ), заданной неявно уравнением.

2 , Частные производные высших порядков Рассмотрим функцию 8 9, можно найти ее частные производные по и по 9 и Они также являются функциями от двух переменных и, которые в свою очередь можно дифференцировать по этим переменным Обозначение. Найдем вторые производные для указанной функции: 8, 8,, 8 Сравнивая выражения для смешанных производных видим, что Оказывается, смешанные производные не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование Это верно для производных любого порядка Так, например, 9 8, 9, 9, 9, 9 Производная функции по направлению Пусть = (, ) функция определенная в области D Рассмотрим точку (, ) D и некоторое направление, определяемое направляющими косинусами α и β (α и β углы, образованные лучом с положительными направлениями O и O) Переместимся по направлению луча в точку (, ) Приращение функции: (, ) (, ) - это приращение функции в данном направлении,,

3 Определение Под производной функции в данном направлении понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения, при условии что последнее стремиться к нулю im Таким образом и есть производные функции в направлениях O и O Смысл производной по направлению: дает скорость изменения функции в направлении Выведем формулу дифференцирования Представим полное приращение функции в виде: где α и β при Δ и Δ im Если функция = (,, ) и в пространстве задано направление (α, β, γ) то производная по этому направлению вычисляется аналогично: Пример: Найти производную функции в точке М(, ) в направлении вектора, a Направляющие косинусы.

4 Скалярное и векторное поле Градиент Определение Говорят, что в данной области D определено скалярное поле, если каждой точке D ставится в соответствие некоторое скалярное число (скаляр) = () Так как каждому положению точки М отвечает численное значение величины, то это просто числовая функция точки Если для положения точки М в пространстве ввести декартову систему координат, то получим = (,, ) (или = (, )) то есть функцию трех или двух переменных Пример: Распределение температуры в неравномерно нагретом теле, распределение плотностей, концентраций вещества Можно сказать, что понятия скалярного поля есть физическая трактовка функции нескольких переменных Определение Говорят, что в данной области D определено векторное поле, если каждой точке D ставится в соответствие некоторый вектор к координатам. или перейдя Пример векторного поля: распределение скоростей в потоке газа или жидкости, распределение сил в деформированном теле Определение Пусть = (, ) плоское скалярное поле, тогда вектор grad или grad i j Аналогично для пространственного поля = (,, ) : grad называется градиентом поля grad То есть скалярное поле порождает векторное поле поле градиентов Примеры, grad В точке с координатами (, ) вектор grad Найти градиент поля в точке М(,, ) grad В точке М: Связь градиента и производной по направлению функции Теорема Пусть дано скалярное поле = (х, у, ) и в этом скалярном поле определено поле градиентов grad i j k Производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора grad на вектор Доказательство Рассмотрим единичный вектор, соответствующий вектору :

5 i j k Вычислим скалярное произведение векторов grad и : grad, Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции по направлению вектора, то есть: grad, Обозначим угол между grad и как φ Тогда grad, grad grad пр grad Из доказанной теоремы следует что производная по направлению достигает наибольшего значения если φ =, то есть если φ = Установим некоторые свойства градиента Таким образом, направление градиента совпадает с направлением, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, то есть градиент функции указывает направление наибыстрейшего изменения функции В этом состоит физический смысл градиента Уравнение касательной плоскости и нормали Определение Касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке М (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным в этой точке на данной поверхности через указанную точку Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания Теорема (Без доказательства) Во всякой точке, где grad градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку в сторону возрастания поля На рисунке изображена функция и рядом поле градиентов рядом с линиями уровня, что иллюстрирует данную теорему Пусть поверхность задана уравнением (,, ) = Из приведенной теоремы следует, что grad перпендикулярен касательной к любой дифференцируемой кривой, проходящей через точку М (,, ) и лежащей на поверхности уровня Эти касательные образуют касательную плоскость к поверхности уровня и следовательно в качестве вектора нормали к касательной плоскости можно взять вектор grad

6 В точке М вектор градиента имеет координаты: следовательно для поверхности (,, ) = уравнение касательной плоскости можно записать: Для уравнения нормали к поверхности вектор градиента будет уже направляющим вектором, поэтому данное уравнение: Если поверхность задана явным уравнением = (, ), можно его переписать как (,, ) = (, ) - и тогда вектор нормали (градиента) запишем в виде, соответственно уравнение касательной плоскости и нормальной прямой Пример Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М (-,, ) Поверхность задана явным уравнением = (, ), поэтому вектор нормали. N Экстремум функции нескольких переменных

7 Определение Точка (, ) называется точкой максимума функции = (, ) если существует такая ε окрестность точки (, ), что для каждой точки (, ) отличной от (, ), из этой окрестности выполняется неравенство (, ) < (, ) Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (, ) отличных от (, ), из ε окрестность точки (, ) выполняется неравенство (, ) > (, ) Значение функции в точке максимума (минимума) функции называется максимумом (минимумом) функции Максимум и минимум функции экстремум функции Теорема (Необходимое условие экстремума) Если в точке М(, ) дифференцируемая функция = (, ) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю. Определение Точка в которой частные производные первого порядка функции = (, ) равны нулю, то есть,, называется стационарной точкой функции Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума Теорема (достаточное условие экстремума) Пусть в стационарной точке (, ) и некоторой ее окрестности функция (, ) имеет непрерывные частные производные до A,, второго порядка включительно Вычислим в точке (, ) значения B,, C, Обозначим A B B AC B C Тогда: Если Δ >, то функция (, ) в точке (, ) имеет экстремум Максимум, если A < минимум, если A > Если Δ <, то функция (, ) в точке (, ) экстремума не имеет В случае Δ = экстремум в точке (, ) может быть или может не быть Необходимы дополнительные исследования Примеры: Найти экстремумы функции 9 9, 9 Найдем стационарные точки из системы уравнений: 9 9,, Проведем исследование стационарных точек, 9, В точке (, ): A =, B = -9, C =, Δ = -8 < То есть в точке нет экстремума В точке (, ): A = 8, B = -9, C = 8, Δ = - 8 = > То есть в точке экстремум Так как A >, то в точке минимум Исследовать на экстремум функцию, Найдем стационарные точки из системы уравнений. Проведем исследование стационарных точек,,

8 В точке, : A, B =, C =-, Δ < То есть в точке нет экстремума В точке, : A, B =, C = -, Δ > То есть в точке экстремум Так как A <, то в точке максимум Исследовать на экстремум функцию, Найдем стационарные точки из системы уравнений:, Проведем исследование стационарной точки,, В стационарной точке: A =, B =, C =, Δ = Нельзя ничего сказать про экстремум в этой точке, необходимы дополнительные исследования Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Рассмотрим множество G точек плоскости (или пространства) Точка М называется внутренней точкой множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью Точка N называется граничной для множества G если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G так и не принадлежащие G Совокупность всех граничных точек множества G называется ее границей Г Определение Множество G будем называть областью, если все его точки внутренние Множество G вместе со своей границе называется замкнутой областью ( G G Г ) Определение Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции Теорема (Вейерштрасса) Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в стационарной точке, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области Примеры: Найти наибольшее значение функции ограниченной линиями =, =, + =, Стационарных точек нет так как Исследуем функцию на границах области а) = = + Стационарных точек нет () =, () = в области G, b) = Стационарная точка = ½ () =, () =, (/) =/ c) + = Стационарная точка /, Сравниваем все полученные значения функции и получаем, что максимальное значение в точке (,), ma

9 Найти наибольшее значение функции = в треугольной области G с вершинами О(, ), А(, ), В (, ), Стационарная точка =, =, = Исследуем на границах области: ОА: =, = OB: =, = AB: = = ½, =, (/,) () =, (A) =, (B) = ma, Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих заданную полную поверхность S найти параллелепипед с максимальным объемом V Решение: Пусть,, измерения параллелепипеда V = S Полная поверхность S = ( + + ) S V Область ограничена: >, >, < S (тк V > ) V S V S Найдем стационарную точку S V V S Получаем третье измерение S S S S Искомый параллелепипед куб со стороной Условный экстремум Пусть в задаче на нахождение минимума или максимума функции переменные связаны некоторыми условиями Задача: Дана функция = (, ) () Найти максимум если (, ) = C () (Линия L) Геометрически это означает, что мы сравниваем значения функции не во всех точках, а только лежащих на линии (уровня) L Решение: Уравнение () определяет функцию = (), заданную неявно d d Так как = (, ()), то d d d d Необходимое условие экстремума:, т е () d d Продифференцируем уравнение связи () по : S

10 d, если то d условие: d d Подставляем в () и получаем Обозначим величину последнего отношения λ (знак для удобства) Получаем, что в точке экстремума должны выполняться условия: Величина λ множитель Лагранжа Введем функцию Лагранжа, определяемую как: Ф(,, λ) = (, ) + λ (, ) Тогда исходная задача меняется на задачу нахождения безусловного экстремума функции Лагранжа Аналогичные рассуждения можно провести для функции большего числа переменных Пример: Найти экстремум функции,, Составим функцию Лагранжа. при условии Экстремум будет в точке: Из первых -х уравнений исключим λ: = -, = Из последнего уравнения исключаем и у: + + = Таким образом: =, =, = При данных условиях (,, ) = -