На рисунке изображён график некоторой функции
Здравствуйте, друзья! В данной статье рассмотрим с вами задания на первообразную. Эти задания входят в ЕГЭ по математике. Несмотря на то, что сами разделы — дифференцирование и интегрирование довольно ёмки в курсе алгебры и требуют ответственного подхода к пониманию, но сами задачи, которые входят в открытый банк заданий по математике и будут на ЕГЭ чрезвычайно просты и решаются в одно-два действия.
Важно понять именно суть первообразной и в частности геометрический смысл интеграла. Рассмотрим кратко теоретические основы.
Геометрический смысл интеграла
Кратко об интеграле можно сказать так: интеграл – это площадь.
Определение: Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции f, заданной на отрезке [a;b]. Подграфиком (или криволинейной трапецией) называется фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми х = а и х= b и осью абсцисс.
Определение: Пусть дана положительная функция f, определённая на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции f на отрезке [a;b] называется площадь её подграфика.
Обозначение интеграла. Традиционно интеграл от функции у = f (x) обозначается так:
Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интеграла сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции.
Определение: функцию F (x) называют первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство
Можно прочесть двумя способами:
f производная функции F
F первообразная для функции f
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования:
Теорема (Ньютона–Лейбница): Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда
То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.
Это краткое изложение теоретических основ. Есть ещё свойства интеграла, понятие интегральных сумм и прочее. Полное понимание темы требует глубокого проникновения в неё. Но то, что потребуется при решении простых задач представлено выше.
Рекомендую повторить свойства производной для исследования графиков функции, их понимание также необходимо при решении некоторых задач на первообразную.
На рисунке изображён график функции y = F (x) — одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (–3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x) = 0 на отрезке [–2;4].
Как уже сказано F′(x) = f (x). Какой можем сделать вывод?
Он простой. Нам нужно определить сколько имеется точек на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что производная равна нулю в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох. Покажем эти точки на интервале [–2;4]:
Это точки экстремума данной функции F (x). Их десять.
323078. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) — одна из первообразных функции f (x).
Ещё раз запишем теорему Ньютона–Лейбница: Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда
То есть, нам необходимо найти:
А это, как уже сказано, есть площадь подграфика функции.
Таким образом, задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8):
Её не сложно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох (или в положительной полуплоскости оси оу).
Ещё в данном случае можно было сказать так: разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.
323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x). Функция F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 — одна из первообразных функции y= f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Как уже сказано о геометрическом смысле интеграла это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x), прямыми х = а и х = b и осью ox.
Таким образом, задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –11 до –9, или другими словами нам необходимо найти разность значений первообразных вычисленных в указанных точках:
323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).
Функция F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:
Ещё одно решение данной задачи, с сайта РЕШУ ЕГЭ .
Найдем формулу, задающую функцию f (x) график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции f (x) получен сдвигом графика функции у = 3 – 3х 2 на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции у=3 – 3х 2 и отрезком [–1;1] оси абсцисс. Имеем:
Конечно, этот способ требует: основательно знания правил дифференцирования, свойств интеграла, таблицы производных, таблицы интегралов, умения выделять неполный квадрат; владения приёмами преобразований графиков и, конечно, должна быть хорошая практика.
Таблицы производных и интегралов вы можете посмотреть .
Производные и правила дифференцирования ещё есть в этой статье . Знать их нужно обязательно, не только для решения таких заданий.
В этой рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
Также можете посмотреть справочную информацию на сайте здесь и здесь .
Посмотрите небольшой ролик, это отрывок из фильма «Невидимая сторона». Можно сказать, что это фильм об учёбе, о милосердии, о важности якобы «случайных» встреч в нашей жизни. Но этих слов будет недостаточно, рекомендую посмотреть сам фильм, очень рекомендую.