Элементарный очерк идей и методов.
? 1. Операции над целыми числами 1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
? 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая ин- дукция 1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I. Теория чисел
? 1. Простые числа 1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
? 2. Сравнения 1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.
? 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма
? 4. Алгоритм Евклида 1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики. 3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Глава II. Математическая числовая система
? 1. Рациональные числа 1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.
? 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
? 3. Замечания из области аналитической геометрии 1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.
? 4. Математический анализ бесконечного 1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. ?Кардинальные числа? Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
? 5. Комплексные числа 1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры.
? 6. Алгебраические и трансцендентные числа 1. Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II. Алгебра множеств 1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра
? 1. Основные геометрические построения 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
? 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение ? алгебраические.
? 3. Неразрешимость трех классических проблем 1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений
? 4. Геометрические преобразования. Инверсия 1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
? 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
? 6. Еще об инверсии и ее применениях 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
? 1. Введение 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования.
? 2. Основные понятия 1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.
? 3. Двойное отношение 1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.
? 4. Параллельность и бесконечность 1. ?Идеальные? бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
? 5. Применения 1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.
? 6. Аналитическое представление 1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
? 7. Задачи на построение с помощью одной линейки
? 8. Конические сечения и квадрики 1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как ?линейчатые кривые?. 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.
? 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или комбинаторный, подход.
Глава V. Топология
? 1. Формула Эйлера для многогранников
? 2. Топологические свойства фигур 1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.
? 3. Другие примеры топологических теорем 1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
? 4. Топологическая классификация поверхностей 1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.
Приложение. *1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. *3. Основная теорема алгебры.
Глава VI. Функции и пределы
? 1. Независимое переменное и функция 1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.
? 2. Пределы 1. Предел последовательности an . 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число . *5. Непрерывные дроби.
? 3. Пределы при непрерывном приближении 1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел . 4. Пределы при .
? 4. Точное определение непрерывности
? 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
? 6. Некоторые применения теоремы Больцано 1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме. Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
? 1. Примеры пределов 1. Общие замечания. 2. Предел q n . 3. Предел . 4. Разрывные функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.
? 2. Пример, относящийся к непрерывности
Глава VII. Максимумы и минимумы
? 1. Задачи из области элементарной геометрии 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
? 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 1. Принцип. 2. Примеры.
? 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
? 4. Треугольник Шварца 1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
? 5. Проблема Штейнера 1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети.
? 6. Экстремумы и неравенства 1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
? 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
? 8. Изопериметрическая проблема
*? 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
? 10. Вариационное исчисление 1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
? 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками 1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Глава VIII. Математический анализ
? 1. Интеграл 1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции x r . 5. Правила ?интегрального исчисления?.
? 2. Производная 1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы.
? 3. Техника дифференцирования
? 4. Обозначения Лейбница и ?бесконечно малые?
? 5. Основная теорема анализа 1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций x r , cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для .
? 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций e x , a x , x s . 4. Явные выражения числа e и функций e x и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
? 7. Дифференциальные уравнения 1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII.
? 1. Вопросы принципиального порядка 1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
? 2. Порядки возрастания 1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).
? 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = e ix . 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
*?4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
Арифметика и алгебра
Проективная и неевклидова геометрия
Функции, пределы, непрерывность
Максимумы и минимумы
Дифференциальное и интегральное исчисления
Добавление 1. Вклейка ?От издательства? в первое издание книги на русском языке