Урок "Линейная функция и ее график"

Рассмотрим примеры функций, задаваемые формулой y=kx+b, где x– переменная, k иb– какие-то числа.

Пример 1. Автомобиль, который выехал из города A, в данный момент времени находится в поселке В, удаленном от А на 30 км. Двигаясь с постоянной скоростью 60 километров в час, за t часов преодолеет 60tкилометров и будетнаходиться от городаA на расстоянииравном (60t+30)км. Обозначимвыражение 60t+30 буквойs и получим формулу s=60t+30, где t – неотрицательное. Если необходимо найти расстояние, на котором находится автомобиль от города A через 5 часов, необходимо 60 умножить на 5 и прибавить 30.

Пример 2. Масса пустого бидона вместимостью 45 литров равна 5 кг, а масса оного литра жидкости – 0,9 кг. Тогда масса m (в килограммах) бидона, в котором содержится pлитровжидкости, равна (0,9p+5) кг. Формулой p=0,9p+5, где pнаходится в пределах от 0 до 45, задана функция.

В каждом из этих примеров мы имеем дело с функцией, которая задается формулой, в правой части которой многочлен первой степени с одной переменной. Когда (независимую) переменную обозначить буквой x, а зависимую – буквой y, то формула представима в виде y=kx+b, где k иb– любые числа.Эти функции линейные; функция называется линейной, если задается формулой вида y=kx+b, где x– переменная (независимая), k и b – произвольные числа.

Прямую пропорциональность можно рассматривать как один из частных случаев линейной функции. Ведь, при b=0 и k≠0 формула примет вид y=kx, а этой формулой задается прямая пропорциональность.

Интересно, какой вид имеет график линейной функции? Для выяснения исследуем линейную функцию y=0,5x+3. Для построения её графика используем график функции y=0,5x. Будем сравнивать соответствующие значения функций y=0,5x+3 и y=0,5x при одинаковых x. Из данной таблицы видно, что значения функции y=0,5x+3 при x больше на 3 значений функции y=0,5x при тех же значениях x. Каждой точке графика функции y=0,5x соответствует точка графика функции y=0,5x+3 с той же абсциссой и ординатой на 3 больше. Причем на графике функции y=0,5x+3 других, лишних точек нет.

График функции y=0,5x+3 получается из графика функции y=0,5x сдвигом каждой его точки на 3 значения вверх, то есть по направлению оси. Образно говоря, прямую y=0,5x переместим вверх на 3 единицы. Значит, графиком функции y=0,5x+3 является прямая параллельная прямой y=0,5x и проходящая через точку с координатами (0;3).

Аналогично доказывается, что график функции y=2x-1 – прямая, параллельная прямой y=2x и проходящая через точку (0;-1), то есть сдвинутая на 1 вниз, по направлению противоположному направлению оси Y.

Вообще график функции y=kx+b, где k≠0, есть прямая, которая параллельна прямой y=kx. Если же k=0, то формула принимает вид y=0x+b, то есть y=b. В этом случае функция при любом значении х принимает одно и то же значение. Для примера построим график функции y=-3. В результате получим прямую, параллельную оси ОХ, проходящую через точку (0; -3). В этом случае от x ничего не зависит: yвсегдапринимаетзначение -3.

Значит, графиклинейнойфункции – это прямая линия.

Заметим, что областью определения линейной функции y=kx+b, где k≠0, есть множество чисел, а областью значений тоже множество чисел или b, если k=0.

Для построения графика линейной функции достаточно найти две любые точки графика, отложить их на плоскости эти точки и использовать для построения прямой.

Пример 3. Построим график функции y=2x-3. Эта функция линейная и графиком будет прямая. Возьмём два произвольных значения аргумента x, например, x=0 и x=4 и вычислим соответствующие им значения функции. Если x=0,то y=2×0-3=-3 и при x=4, y=2×4-3=5. Отметим в координатной плоскости точки А(0;-3) и В(4;5) и проведем через них прямую АВ. Эта прямая и есть график функции y=2x-3.

Пример 4. Построим график функции y=-x+2, при x в пределах от -3 до 5 включительно. График линейной функции y=-x+2 прямая, а график данной функции часть этой прямой, ограниченная точками с абсциссами -3 и 5, С(-3;…) и D(5;…). Мы не можем брать значения x меньше -3 и больше 5. Поэтому график функции это часть прямой. Вычислим ординаты точек С и D. Если x=-3, то y=-(-3)+2=5, а при x=5 y=-5+2=-3. Отметим в координатной плоскости точки C(-3;5) и D(5;-3) и соединим их отрезком прямой. Получим график функции y=-x+2, при x в пределах от -3 до 5 включительно. В отличие от предыдущего примера, график данной функции не прямая, а отрезок прямой. Поэтому область значений функции есть множество чисел от -3 до 5 включительно.

При построении графика функции важно знать, какова её область определения, а также координаты точек пересечения графика с осями координат.

Пример 5. Найдем в каких точках пересекается график функции y=-2x+4 с осями Х и У, построим график. Для нахождения координаты у, пусть x=0. Найдем значение функции для этой точки y=-2×0+4=4. Получим точку M(0;4). Ордината любой точки, лежащей на оси абсцисс, равна 0. Поэтому чтобы найти координаты х, возьмём для y значение 0, а искомое значение найдём из уравнения функции. Получим уравнение 0=-2x+4. Решая его – 2x=4, x=2 – получаем точку N(2;0). Отметим полученные точки на координатной плоскости и построим прямую. MN и будет графиком функции y=-2x+4, а точки Mи N – точки графика функции на осях Х и У.

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.