Как найти область определения и область значений функции

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 293 446.

В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции. [1] X Источник информации

• Квадратичная функция имеет вид: ax 2 + bx + c: [2] X Источник информации f(x) = 2x 2 + 3x + 4
• Функция, содержащая дробь: f(x) = ( 1 /x), f(x) = (x + 1) /(x - 1) (и так далее).
• Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x 2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).

• Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

• Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
• Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
• Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.

• Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1) /(x - 1).
• Здесь знаменатель: (х - 1).
• Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х - 1 = 0; х = 1.
• Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
• Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.

• Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
• Подкоренное выражение: (х + 3).
• Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
• Найдите «х»: х ≥ -3.
• Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).

• Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.

• Например, найдите область значений функции 3x 2 + 6x -2.
• Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1

• Вычислите координату «у»: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
• Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).

• Подставьте в функцию х = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
• Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
• Область значений этой функции: [-5, ∞)

• Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

• Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
• Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
• Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.

• Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).

• Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Дополнительные статьи

1. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
2. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
3. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html
4. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
5. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
6. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
7. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
8. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
9. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html

1. ↑http://www.intmath.com/functions-and-graphs/2a-domain-and-range.php
2. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 293 446.