Найдите наименьшее значение функции y=5cosx–6x+4 на отрезке [–3П/2;0]

Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрической функции на заданном отрезке. Рассмотрим несколько примеров. Но сначала советую повторить теорию, всё необходимое есть в статье « Исследование функций, это нужно знать! ».

На блоге уже рассмотрены подобные задачи с логарифмической функцией , функции с числом е , а также функции в составе которых имеется квадратичная функция (решаются без нахождения производной). Можете ознакомиться со статьёй , в которой мы рассматривали нахождение точек максимума (минимума) тригонометрических функций.

Алгоритм процесса решения прост, кратко напомню:

1. Находим производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение (находим вероятные точки экстремумов).

3. Далее вычисляем значения данной функции на границах отрезка, также в найденных точках п.2.

4. Определяем наибольшее (наименьшее), в зависимости от поставленного вопроса.

Здесь стоит отметить, что если уравнение п.2 не имеет решения, то это означает, что функция на всём отрезке возрастает (рис.1) или убывает (рис.2):

Что это означает?

Это значит то, что точек минимума (максимума) нет и нам необходимо определить знак производной.

— Если производная имеет отрицательное значение, то функция убывает.

— Если производная имеет положительное значение, то функция возрастает.

Далее мы уже без труда сможем выявить в какой (пограничной) точке отрезка значение функции наибольшее, а в какой наименьшее.

— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка;

— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;

— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;

— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка.

В представленных ниже задачах нахождение производной подробно не расписано, производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Что ещё следует помнить?

1. Когда речь идёт о синусе и косинусе имеются ограничения:

– 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1

2. В ответе должно получится целое число, либо конечная десятичная дробь. Если получили числовое выражение с неизвлекаемым корнем, то оно ответом являться не будет.

25594. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4

на отрезке [–3П/2; 0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Известно, что – 1 ≤ sin x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.

Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная будет отрицательна при всех значениях переменной. Почему?

Если учесть, что – 1≤sinx≤ 1, то получаем

– 1≤sinx≤1 => 5 ≥ –5sinx≥ –5 => –1 ≥ –5sinx–6 ≥ –11

то есть значение выражения (производной) «–5cosx – 6» лежит в пределах от – 11 до – 1 включительно.

Следовательно на указанном интервале функция убывает, и наименьшее значение будет в крайней правой точке, то есть при х = 0. Таким образом,

26697. Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x – 8x + 9

на отрезке [–3П/2; 0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Известно, что – 1 ≤ cos x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.

Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная отрицательна при всех значениях переменной, значение производной лежит в пределах от – 15 до – 1 включительно.

Значит на указанном интервале функция убывает.

Следовательно наименьшее значение функции на заданном отрезке будет в правой крайней точке, то есть при х = 0.

77498. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Точка x = П/6, принадлежит заданному интервалу.

Вычислим значение функции в точках: 0, П/6, П/2.

Если учесть, что число Пи равно 3,14 а корень из трёх ≈ 1,73 то значения вычислить будет не трудно:

Значит наибольшим значением функции на отрезке будет 12. Данные приближённые значения можно и не вычислять. Достаточно помнить то, что ответом в задачах части В является целое число, а там где присутствует неизвлекаемый в целых числах корень, целое число мы никак не получим.

*Примечание. Корень уравнения мы записали сразу с учётом данного в условии отрезка, поэтому период косинуса в результате не записан.

26699. Найдите наибольшее значение функции

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Значит уравнение не имеет решения, так как – 1 ≤ cos x ≤ 1.

Учитывая данное ограничение, производная на данном отрезке имеет отрицательное значение:

Следовательно она убывает.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке будет в левой крайней точке, то есть при х = – 5П/6.

26692. Найдите наибольшее значение функции

26693. Найдите наименьшее значение функции

26695. Найдите наибольшее значение функции

26696. Найдите наименьшее значение функции

77499. Найдите наименьшее значение функции

*Примечание. Безусловно, можно после вычисления нулей функции, определить точки максимума (минимума) и далее исходя из этого вычислять наибольшее (наименьшее) значение. Но можно обойтись без этого, так как при подстановке нулей и границ отрезка мы однозначно, и наверняка, искомое значение найдём. В любом случае, используйте тот путь (способ), к которому вы привыкли.

В будущем рассмотрим ещё несколько заданий с тригонометрическими функциями, не пропустите!

На этом всё! Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Полный Видеокурс по РУССКОМУ ЯЗЫКУ!

ПРЕМИУМ-КУРС по математике на 100 баллов!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

В примере 25594

откуда взялся – 5cosx – 6 ?

если производная — 5sinx — 6

пробовал интервалы подставлять, так и не понял откуда взялось -11 и -1 интервал

Здравствуйте! Спасибо. Поправил, скорректировал текст. Посмотрите.

Ребята, зачем усложнять жизнь? подставляем 0 и всё, вот она точка минимума, так как вареант с П не подходиз из-за того что в егэ, в ответе должно быть число без П