научная статья по теме КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОГРАНСЛОЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ Математика

Текст научной статьи на тему «КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОГРАНСЛОЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 11, с. 1952-1962

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПОГРАНСЛОЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ^

(* 644099 Омск, ул. Певцова, 13, Омский фил. Ин-та матем. СО РАН; ** 644077Омск, пр-т Мира, 55-а, Омский гос. ун-т) e-mail: zadorin@ofim.oscsbras.ru; nik-zadorin@yandex.ru Поступила в редакцию 06.12.2010 г.

Строятся и исследуются квадратурные формулы для функции одной переменной с погран-слойной составляющей. Предполагается, что интегрируемая функция имеет представление в виде суммы регулярной и погранслойной составляющей, большие градиенты которой понижают точность классических квадратурных формул, таких как формулы трапеций и Симпсо-на. Осуществлена модификация этих формул, при которой погрешность квадратурной формулы не зависит от градиентов погранслойной составляющей. Приводятся результаты численных экспериментов. Библ. 9. Табл. 6.

Ключевые слова: функция одной переменной, погранслойная составляющая, большие градиенты, определенный интеграл, неполиномиальная интерполяция, квадратурная формула, оценка погрешности.

Построение квадратурных формул Ньютона—Котеса основано на приближении интегрируемой функции многочленом Лагранжа. Погрешность таких составных квадратурных формул, как известно, в случае больших градиентов интегрируемой функции и равномерной сетки может быть значительной.

Для функций с особенностями известны методы численного интегрирования, такие как выделение весового множителя, метод Канторовича аддитивного выделения особенности, сгущение сетки в областях больших градиентов и др. Вопросы построения квадратурных формул для функций с особенностями излагаются в [1]—[3] и в работах многих других авторов.

В данной работе предполагается, что интегрируемая функция представима в виде суммы регулярной составляющей, имеющей ограниченные производные до некоторого порядка, и известной погранслойной составляющей, имеющей резкие изменения в определенных частях интервала интегрирования. Предполагается, что погранслойная составляющая не может быть аддитивно выделена при численном интегрировании. Предлагается строить квадратурные формулы исходя из того, что они должны быть точными на погранслойной составляющей.

Итак, будем строить квадратурные формулы для вычисления интеграла

в случае функции и(х), имеющей представление

и(х) = р(х) + уФ(х), х е[а, Ь]. (1.2)

Предполагаем, что функция и(х) является достаточно гладкой (используемые производные непрерывны), погранслойная составляющая Ф(х) известна, ограничена и имеет области больших градиентов, регулярная составляющаяр(х) ограничена вместе с некоторыми производными, постоянная у не задана. Представление (1.2) имеет место для решений сингулярно возмущенных краевых или начальных задач.

Для примера рассмотрим краевую задачу

6и"(х) + а1 (х)и'(х) - а2(х)и(х) = /(х), и(0) = А, и( 1) = В, (1.3)

1)Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 10-01-00726, 11-01-00875).

функции а1, а2,/достаточно гладкие. Согласно [4]—[6], при малых значениях параметра б решение задачи (1.3) имеет экспоненциальный пограничный слой у левой границы интервала х = 0 и для решения и(х) справедливо представление (1.2) при задании

Ф(х) = ехр (-а0б *х), а0 = ах (0), у = -6 и' (0)/а0. (1.4)

При этом постоянная у неизвестна, |р'(х)| < С0, |у| < С1, постоянные С0 и С1 не зависят от параметра 6. Заметим, что для Ф(х) из (1.4) при всех х е [0, 1] справедливы соотношения

Всюду в работе под С и С, ] > 0 будем подразумевать положительные постоянные, не зависящие от погранслойной составляющей и ее производных, а также от шагов разностной сетки. Различные постоянные будем обозначать одной буквой, если это не вызывает недоразумений.

2. ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ С ДВУМЯ УЗЛАМИ Выпишем квадратурную формулу трапеций:

S2( и) = (b-a) и(а) + и(Ь). (2.1)

Для формулы (2.1) известно представление погрешности (см. [2, с. 185])

для некоторого s е (a, b). Из (2.2) следует, что

Введем составную формулу трапеций. Пусть задана равномерная сетка интервала [a, b]: Q = . Составная формула трапеций имеет вид

S2 (и) = h £ , ип = и(х„). (2.4)

Для формулы (2.4) с учетом (2.3) имеет место оценка погрешности

В соответствии с (2.5), если производная u"(x) является равномерно ограниченной, то погрешность формулы (2.4) порядка O(h2). При больших значениях производной интегрируемой функции порядок точности формулы (2.4) может понизиться.

Рассмотрим погрешность формулы трапеций для первого сеточного интервала на примере функции u(x) = exp(—s-1x), s > 0: h

A = Jexp(-s 1x)dx-h(1 + exp(-s 1 h)) = s exP(-s 1h)(s + hj.

Нетрудно заключить, что A = O(h3) при s « 1 и A = O(h) при s < h. Таким образом, при наличии погранслойной составляющей у интегрируемой функции порядок погрешности составной формулы трапеций (2.4) может увеличиться до порядка O(h).

Осуществим модификацию формулы трапеций (2.1), добиваясь того, чтобы погрешность квадратурной формулы не зависела от погранслойной составляющей Ф(х). Для построения квадратурной формулы используем неполиномиальную интерполяцию функции u(x), точную на составляющей Ф(х). В случае экспоненциального пограничного слоя такая интерполяция строилась в [7]. В [8], [9] при построении формул сплайн-интерполяции рассмотрен случай погран-

слойной составляющей Ф(х) общего вида. Сделаем ограничение, что функция Ф(х) монотонна на интервале (a, b) и, в соответствии с [8], выпишем формулу интерполяции функции u(x) на интервале [a, b]:

иф2(х) = [u(а) - u(b)]Ф(х) - ф (b) + u(b). (2.6)

ф 2V 7 L V 7 V ЛФ(а) - Ф(b) W V 7

Интерполяция (2.6) является точной на функции Ф(х). В [9] доказано, что для интерполяции (2.6) справедлива оценка погрешности

|иФ>2(х) - u(х)| < 2max|p'(s)|(b - а), s, х е[а, b]. (2.7)

В соответствии с (2.7), оценка погрешности формулы (2.6) не зависит от погранслойной составляющей Ф(х). В интеграле (1.1) заменяя функцию u(x) интерполянтом (2.6) и, интегрируя, получаем

JO(х)dx - Ф(b)(b - а) ¿ф, 2(u) = u(b)(b - а) + [u(а) - u(b)]а-ф ( а) _ ----. (2.8)

Учитывая оценку (2.7), получаем

|Яф, 2(u)| = |Дu) - ¿ф, 2(u)|< 2max\p'(s)(b - а)2. (2.9)

Отметим, что, в отличие от (2.3), оценка погрешности (2.9) не зависит от погранслойной составляющей Ф(х).

Получим другую оценку погрешности формулы (2.8). Для этого воспользуемся оценкой погрешности из [9] интерполяционной формулы (2.6):

а) [max|p"(s)| + тахрфф, 2(s)], s, х е [а, b], (2.10)

гдерф 2(х) — интерполянт (2.6) для функцииp(x). Используя оценку (2.10), получаем

о s E [а, b] s E [а, b]

В соответствии с (2.11), формула (2.8), как и формула трапеций, точна на многочленах первой степени, но она точна и на погранслойной составляющей Ф(х). Преобразуем формулу (2.8). Пусть

¿ф,2(u) = (b - а)[G2u(а) + ( 1 - G2)u(b)]. (2.13)

Из (2.13) следует формула трапеций при задании G2 = 1/2, что соответствует случаю Ф(х) = х.

Пусть функция Ф(х) монотонна на [a, b]. Тогда из (2.12) следует, что 0 < G2 < 1, коэффициенты формулы (2.13) положительны. Пусть

Для обоснования (2.15) остановимся на первом случае ограничений (2.14). Функция Ф(х) монотонно убывает на (a, b), поэтому G2 > 0. Условие G2 < 1/2 приводится к виду

JO( х ) dx <( b - а )Ф ( а ) + Ф ( b ).

Учитывая (2.2) и условие Ф''(х) > 0 на (a, b), заключаем, что это неравенство справедливо, что и доказывает (2.15).

Заметим, что если составляющая Ф(х) определена в соответствии с (1.4), то выполнены условия (1.5) и, следовательно, условия (2.14).

Предположим, что функция Ф(х) монотонна на сеточных интервалах, и определим составную квадратурную формулу, соответствующую формуле (2.13):

2 (и) = Н £ [ 02> пып_! + (1 -02> „) ып ] , (2.16)

Применяя оценку (2.9) к сеточным интервалам, получаем оценку погрешности составной формулы (2.16):

В соответствии с (2.17), оценка погрешности формулы (2.16) не зависит от погранслойной составляющей Ф(х) и ее производных.

Покажем, что если интегрируемая функция и(х) не содержит области больших градиентов, то составная квадратурная формула (2.16), как и формула (2.4), — второго порядка точности по шагу сетки. Применяя оценку (2.11) к сеточным интервалам, получаем

Итак, составная квадратурная формула (2.16) — первого порядка точности по шагу сетки равномерно по градиентам погранслойной составляющей и второго порядка точности, как и составная формула трапеций, если интегрируемая функция не имеет больших градиентов.

Покажем, как можно повысить точность составной квадратурной формулы. Построим составную формулу так, чтобы на сеточных интервалах вне области пограничного слоя применялась формула трапеций (2.1), а в пограничном слое — формула (2.13). Для определенности остановимся на случае, когда пограничный слой находится у левой границы интервала [а, Ь] и |и"(х)| < С для всех х > а + а, а > 0.

Пусть т = тт. Запишем составную формулу

2 = Н £ [02> пЫп- 1 + (1 п) Ып ] + Н £ . (2.19)

Исследуем случаи, когда составная квадратурная формула (2.19) имеет точность порядка 0(Н2), что соответствует оценке

|дЫ) -5ф, 2 < С1Н2 (2.20)

для некоторой постоянной С1. Если функция и(х) имеет равномерно ограниченную вторую производную, то оценка (2.20) следует из оценок (2.5) и (2.18). Рассмотрим случай, когда погран-слойная составляюща

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎